Question

我有大量的矢量三元组，我想为它们计算scalar triple product。我能做到

import numpy

n = 871
a = numpy.random.rand(n, 3)
b = numpy.random.rand(n, 3)
c = numpy.random.rand(n, 3)

# <a, b x c>
omega = numpy.einsum('ij, ij->i', a, numpy.cross(b, c))

但是numpy.cross相当慢。问题的对称性（其Levi-Civita表达式为eps_{ijk} a_i b_j c_k）表明可能有更好（更快）的方法来计算它，但我似乎无法弄明白。

任何提示？

Answer 1

它只是决定因素。

omega=det(dstack([a,b,c]))

但它慢了......

另一个等效的解决方案是omega=dot(a,cross(b,c)).sum(1)。

但我认为你必须为每个det计算大约9（对于交叉）+ 3（对于点）+ 2（对于总和）= 14个操作，因此它似乎接近最优。在最好的情况下，你将赢得numpy中的两个因素。

修改

如果速度至关重要，则必须降低速度。 numba是一种简单的方法，可以在15X因素中实现这一目标：

from numba import njit @njit def multidet(a,b,c): n=a.shape[0] d=np.empty(n) for i in range(n): u,v,w=a[i],b[i],c[i] d[i]=\ u[0]*(v[1]*w[2]-v[2]*w[1])+\ u[1]*(v[2]*w[0]-v[0]*w[2])+\ u[2]*(v[0]*w[1]-v[1]*w[0]) # 14 operations / det return d

一些测试：

In [155]: %timeit multidet(a,b,c) 100000 loops, best of 3: 7.79 µs per loop In [156]: %timeit numpy.einsum('ij, ij->i', a, numpy.cross(b, c)) 10000 loops, best of 3: 114 µs per loop In [159]: allclose(multidet(a,b,c),omega) Out[159]: True

Answer 2

这是一种利用def slicing_summing(a,b,c): c0 = b[:,1]*c[:,2] - b[:,2]*c[:,1] c1 = b[:,2]*c[:,0] - b[:,0]*c[:,2] c2 = b[:,0]*c[:,1] - b[:,1]*c[:,0] return a[:,0]*c0 + a[:,1]*c1 + a[:,2]*c2和求和 -

的方法

c0, c1, c2

我们可以使用单行替换计算b[:,[1,2,0]]*c[:,[2,0,1]] - b[:,[2,0,1]]*c[:,[1,2,0]]及其堆叠版本的前三个步骤，如此 -

(n,3)

这将创建另一个a数组，该数组必须与(n,)一起用于减少和，从而产生slicing_summing形状的数组。使用建议的(n,)方法，我们直接使用这三个切片的求和来获得(n,3)形状的数组，从而避免使用中间In [86]: # Setup inputs ...: n = 871 ...: a = np.random.rand(n, 3) ...: b = np.random.rand(n, 3) ...: c = np.random.rand(n, 3) ...: In [87]: # Original approach ...: omega = np.einsum('ij, ij->i', a, np.cross(b, c)) In [88]: np.allclose(omega, slicing_summing(a,b,c)) Out[88]: True数组。

示例运行 -

In [90]: %timeit np.einsum('ij, ij->i', a, np.cross(b, c))
10000 loops, best of 3: 84.6 µs per loop

In [91]: %timeit slicing_summing(a,b,c)
1000 loops, best of 3: 63 µs per loop

运行时测试 -

define()

Answer 3

我已经对答案中提到的方法进行了比较。结果：

@Divakar's击败了einsum-cross one。

为了完整起见，请注意，还有另一种方法完全依赖点积和sqrt，请参阅here。该方法比einsum-cross和slice-sum略慢。

情节是使用perfplot，

创建的

import numpy
import perfplot


def einsum_cross(data):
    a, b, c = data
    return numpy.einsum('ij, ij->i', a, numpy.cross(b, c))


def det(data):
    a, b, c = data
    return numpy.linalg.det(numpy.dstack([a, b, c]))


def slice_sum(data):
    a, b, c = data
    c0 = b[:, 1]*c[:, 2] - b[:, 2]*c[:, 1]
    c1 = b[:, 2]*c[:, 0] - b[:, 0]*c[:, 2]
    c2 = b[:, 0]*c[:, 1] - b[:, 1]*c[:, 0]
    return a[:, 0]*c0 + a[:, 1]*c1 + a[:, 2]*c2


perfplot.show(
        setup=lambda n: (
            numpy.random.rand(n, 3),
            numpy.random.rand(n, 3),
            numpy.random.rand(n, 3)
            ),
        n_range=[2**k for k in range(1, 20)],
        kernels=[einsum_cross, det, slice_sum],
        logx=True,
        logy=True,
        )

numpy中的快速标量三重产品

3 个答案: