标量三重乘积和确定

Question

当我今天试图解决问题时，我注意到了一些事情。标量三重乘积与行列式相同或三乘三矩阵，三行为行：

A = [ a ， b ， c ]

det（A）=（ a X b ）* c

我在 Real Timer Rendering 中遇到过这个问题，我无法弄清楚为什么会这样，或者它是否有用。这似乎与使用确定的计算交叉积的捷径方法有关，其中你在矩阵的顶部写单位向量，但我一直认为这更像是一个助记符而不是实际上是合理的数学。

这里有真正的关系，还是这只是一种快乐的巧合？

Answer 1

完全没有巧合;这是一个相当标准的结果。注意，交叉乘积a X b通常以行列式形式写入，其中顶行是单位向量i j k，下一行是a1 a2 a3，下行是b1 b2 b3。

|i  j   k|
|a1 a2 a3|
|b1 b2 b3|

现在用另一个向量c获取它的dotproduct，你得到的东西就像你刚刚在顶行写的那样。

|i  j   k|                      |c1 c2 c3|     |c1 c2 c3|    |a1 a2 a3|
|a1 a2 a3| .  (c1,c2,c3)  =     |a1 a2 a3|  = -|a1 a2 a3|  = |b1 b2 b3|
|b1 b2 b3|                      |b1 b2 b3|     |b1 b2 b3|    |c1 c2 c3|

编辑：同样wikipedia page for scalar triple product表示它使用向量作为行或列等于矩阵的行列式。 Q.E.D。

Answer 2

直到符号，n×n矩阵的行列式是由其n维行（或列）向量（或单位立方体的体积）跨越的平行六面体的体积 由该矩阵线性转换）。 （axb）.c产品在三个维度上完全相同; axb给出垂直于a和b的向量，长度等于a和b跨越的平行四边形的面积; （axb）.c给出平行四边形上c的高度，乘以其面积。所以，不，这不是巧合。