使用Python for循环用数值方法求解方程

Question

我正在学习Python和概率。<​​/ p>

我有一个表达式：

c = n! /((n-1)!1!) + 2*n! /((n-2)*2!) + 3*n!/((n-3)*3!) + ...+ n*n!/((n-n)*n!

其中0！ = 1和！表示“阶乘”，即n！ = 1 * 2 * 3 * ... *（n-1）* n。 等于：

(a + n^b)*2^(c*n + d).  (^ signifies exponent)

我的目标是使用“蛮力”确定参数a，b，c，d。

我使用上面的公式c计算n = 3（12），n = 4（38），n = 5（80），n = 6（192），n = 7（448）。

然后我将参数表示为两个整数的比率：即 a = a1 / a2，b = b1 / b2，c = c1 / c2，d = d1 / d2。

最后我定义了以下功能：

def com():
    parms = []
    for a1 in range(-10, 10):
        for a2 in range(1,11):
            for b1 in range(-10,10):
                for b2 in range(1, 11):
                    for c1 in range(-10,10):
                        for c2 in range(1, 11):
                            for d1 in range(-10 , 10):
                                for d2 in range(1 , 11):
                                    a = a1/a2
                                    b = b1/b2
                                    c = c1/c2
                                    d = d1/d2
                                    cr1 = ( 12 == (a + 3**b)*2**(c*3+d) )
                                    cr2 = ( 38 == (a + 4**b)*2**(c*4+d) )
                                    cr3 = ( 80 == (a + 5**b)*2**(c*5+d) )
                                    cr4 = ( 192 == (a + 6**b)*2**(c*6+d) )
                                    cr5 = ( 448 == (a + 7**b)*2**(c*7+d) )
                                    criterion = cr1 & cr2 & cr3 & cr4 & cr5
                                    if criterion == 1 :
                                        parms = [a, b, c, d]
                                        break
    return parms

但是，我的函数返回一个空列表。

你可以解释一下吗？您对如何实现我的目标有任何建议吗？

您的建议将不胜感激。

Answer 1

首先，让我们看一下代码中的一些错误：

criterion = cr1 & cr2 & cr3 & cr4 & cr5

这是对值执行bitwise操作。你可能想要：

criterion = cr1 and cr2 and cr3 and cr4 and cr5

Python还提供all函数，您可以检查all内容是True：

criterion = all([cr1,cr2,cr3,cr4,cr5])

现在，让我们看一下你的if声明：

if criterion == 1 :

由于您想知道criterion是True还是False，您只需使用if criterion:。

现在最后，这种方法不可能是True。以此行为例：

cr1 = ( 12 == (a + 3**b)*2**(c*3+d) )

这些数字必须加起来恰好是12，否则它将是False，然后你会得到一个空列表。

此外，computers can't do decimal maths accurately。

要解决实际值，必须使用参数替换。这不是一个编程问题，但数学和编程很好地结合在一起，所以这里有一个启动者：

12 = (a + 3**b)*2**(c*3+d)
12/(a+3**b) = 2**(c*3+d)

......等等。根据{{​​1}}，a和b获取c，然后使用d替换cr2中的数字，并根据a和b获得c。

重复几次，你有四个值的数字。

Answer 2

您可以使用a,b,c,d并使用非线性最小二乘法将函数f拟合到数据并查找参数（a，b，c，d）值。您提供的示例数据更适合函数import numpy as np from scipy.optimize import curve_fit xdata = np.array(range(3,8)) ydata = np.array([12,38,80,192,448]) def func(n, a, b, c, d): return (a + n**b)+2**(c*n + d) popt, pcov = curve_fit(func, xdata, ydata, p0=(1,1,1,1)) a, b, c, d = popt print a, b, c, d # learnt parameters # -5.62374782967 1.79345876905 1.29232902743 -0.328778229316 import matplotlib.pyplot as plt plt.scatter(xdata, ydata) plt.plot(xdata, func(xdata, a, b, c, d), '-r', label='np.poly') plt.show() 。请注意，最适合n值的是浮点数，而不是整数。

label3.Text = label1.Text + " = " + label2.Text;

在上面拟合的曲线中，蓝点是数据点，红线是带有学习参数的拟合函数，注意函数是连续的并且为{{1}}的所有值定义。

Answer 3

用大脑代替Python：

您识别修改后的二项和，Sum k.Cnk而不是Sum Cnk。

然后注意

k.n!/(k!(n-k)!) = n!/((k-1)!(n-k)!) = n.(n-1)!/(k-1)!(n-1-k+1)!) = n.Cn-1,k+1.

所以你的总和将是n.2^(n-1)。

Answer 4

在闯入蛮力之前，尝试估计参数的紧密范围可能更明智。

总和的第一个值是

1, 4, 12, 32, 80, 192, 448, 1024, 2304, 5120, 11264

采用成对比率，您会发现它们越来越接近2。

由于比率(a + (n+1)^b)/(a + n^b)趋于1且比率2^(c(n+1)+d)/2^(cn+d)趋于2^c，因此您暗示c可能接近1.您可以查看通过尝试越来越大的n值来估算此值（例如，n=1000会产生比率2.002002... = 2^1.00144...）。

然后为了降低表达式的增长率以使其更容易处理，查看Sum/2^n的值可能会很有趣，我们得到

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

嗯，哼哼。

不幸的是，这种情况对于正确演示该方法来说太容易了。一般的想法是观察渐近行为以获得一些参数的粗略估计。当你有这么粗略的估计（在一个小范围内），那么你可以以某种方式取消它的效果，以更好地看到其他的效果。

对于详尽的搜索，了解范围很重要。