Question

我正在使用软件渲染器开发游戏，以获得最准确的PS1外观。当我正在研究PS1图形/渲染系统如何工作，摇摆顶点等的原因时，我偶然发现了一些关于它们划分方式的文档。以下是它的链接：http://problemkaputt.de/psx-spx.htm#gteoverview（参见“GTE Division Inaccuracy”部分）

相关代码：

  if (H < SZ3*2) then                            ;check if overflow
    z = count_leading_zeroes(SZ3)                ;z=0..0Fh (for 16bit SZ3)
    n = (H SHL z)                                ;n=0..7FFF8000h
    d = (SZ3 SHL z)                              ;d=8000h..FFFFh
    u = unr_table[(d-7FC0h) SHR 7] + 101h        ;u=200h..101h
    d = ((2000080h - (d * u)) SHR 8)             ;d=10000h..0FF01h
    d = ((0000080h + (d * u)) SHR 8)             ;d=20000h..10000h
    n = min(1FFFFh, (((n*d) + 8000h) SHR 16))    ;n=0..1FFFFh
  else n = 1FFFFh, FLAG.Bit17=1, FLAG.Bit31=1    ;n=1FFFFh plus overflow flag

我很难理解这是如何工作的，这个'unr'表是什么？我们为什么要转移东西？如果有人能够更详细地解释这件事实际上是如何实现鸿沟的话，那将是值得赞赏的。

Answer 1

该算法是[0,1]中两个无符号16位小数值的定点除法。它首先通过表查找计算除数的倒数的初始9位近似值，使用单个Newton-Raphson迭代对其倒数进行精化，x _{i + 1}：= x _i *（2 - d * x _i），导致倒数精确到大约16位，最后乘以红利，在[0,2]中产生17位商）。

对于表查找，通过应用比例因子2 ^z，首先将除数归一化为[0.5,1]，显然，除数需要通过相同的比例因子进行调整。由于[0.5,1]中操作数的倒数将为[1,2]，因此已知倒数的整数位为1，因此可以使用8位表条目来产生1.8个定点通过添加0x100（= 1）进行倒数。这里使用0x101的原因尚不清楚;这可能是由于要求此步骤总是高估真实的倒数。

接下来的两个步骤是Newton-Raphson迭代的逐字翻译，用于考虑定点比例因子的倒数。所以0x2000000代表2.0。代码使用0x2000080，因为它将以下除法的舍入常量0x80（= 128）合并为256，用于重新调整结果。下一步同样将0x00000080作为重新缩放除法的舍入常量加256.如果没有缩放，这将是纯乘法。

最终乘法n*d将d中的倒数乘以n中的被除数，得到33位的商。再次，在除以65536之前应用舍入常数0x8000以重新调整到适当的范围，得到1.16定点格式的商。

连续重新缩放是定点计算的典型，其中人们试图保持尽可能大的中间结果，以最大化最终结果的准确性。有点不寻常的是，在所有中间算术中应用舍入，而不是仅在最后一步中应用舍入。也许有必要达到指定的准确度。

但是，该函数并非完全准确，可能是由初始近似的不准确引起的。在所有非例外情况下，2,424,807,756匹配正确舍入的1.16定点结果，780,692,403具有1 ulp的误差，15,606,093具有2-ulp误差，86,452具有3-ulp误差。在快速实验中，初始近似值u中的最大相对误差为3.89e-3。改进的表查找将u中的最大相对误差降低到2.85e-3，减少但不消除最终结果中的3-ulp错误。

如果您想查看具体示例，请考虑h = 0.3（0x4ccd）除以SZ3 = 0.2（0x3333）。然后z = 2，因此d = 0.2 * 4 = 0.8（0xcccc）。这会导致u = 1.25（0x140）。由于估计非常准确，我们期望（2 - d * u）接近1，事实上，d = 1.000015（0x10001）。精确的倒数出现在d = 1.250015（0x14001），因此商为n = 1.500031（0x18002）。

这种除法近似算法如何工作？

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