Question

我对这个算法问题有疑问：

数据计划的成本为X.我们得到一个（未排序的）数组整数，Y（1 <= Y <= 1e6）。对于每个整数Y，如果Y> X，然后总计成本增加X +（Y - X）*（Y - X）。否则，总费用是增加X.请找到值X，以便总成本为最小化。

首先想到的是，O(N^2)方法很简单且易于编码，但对于大型输入数组（即2e5）来说效率非常低。

我的方法是使用二进制搜索。作为前驱，我对数组进行排序。然后我想象基于数组中的整数在条形图中画一条线 - 该线将图表分成两部分：下半部分<= X中的每个元素和另一半{{1}中的元素}。

让大于> X的元素产生的费用为X，其余费用为H。让L表示我猜测的下限，BOT表示我猜测的上限。

我逻辑的伪代码：

TOP

示例：

WHILE BOT <= TOP:
  DO
    X = (BOT+TOP)/2;
    // Compute H and L based on X
    // ...
    ans = MIN(ans,H+L)
    IF H == L:
      BREAK;
    ELSE IF H > L:
      BOT = X + 1;
    ELSE:
      TOP = X - 1;
  DONE

PRINT ANS

答案应为70，因为我们可以选择6。

对数组进行排序：

1 2 9 5 7 6 3 4 2 2

因此，6（8）+ 7 + 15 = 70

我的实际代码如下所示：

Elements: 1 2 2 2 3 4 5 6 7 9
Cost:     6 6 6 6 6 6 6 6 7 15

我用这种方法得到了错误的答案（它传递了示例测试用例）。虽然我觉得我的逻辑可能有缺陷，但我不能产生任何反例。有人可以告诉我一个更好的解决方案吗？

Answer 1

获得反例的好方法如下。考虑一些小数字的例子，例如1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。也许X与算法的最佳位置位于序列右端附近（运行程序后的实际答案：84）。现在大量增加所有值，例如10001 10002 10003 10004 10005 10006 10007 10008 10009 10010。显然，现在正方形与实际值相比无关紧要，并且您的算法会声称X的最佳位置靠近序列的中心（运行程序后的实际答案：10085）。不过，应该清楚的是，如果第一个示例的解为X，则第二个示例为X + 10000。

更一般地说，您的解决方案声称这两个小组＆＃39;总和必须尽可能接近，但划分为这些确切的组是一个不受实际证据支持的主张。

要真正解决问题，或许可以证明总费用函数f(x)是convex，或者换句话说，有限差异f(x+1)-f(x)不会减少。如果确实如此，则可以使用ternary search查找解决方案，或使用有限差异f(x+1)-f(x)而非实际f(x)进行二元搜索。

计算数据计划的最优价格

1 个答案: