两个叠加循环的复杂性

Question

我有这个算法（为方便起见，在c代码中）：

int algo(int *T, int size)
{
   int n = 0;

   for (int i = 1; i < size; i++) {
       for (int j = i; j < size; j++) {
           n += (T[i] * T[j]);
       }
   }

   return n;
}

这个算法的时间复杂度是多少？

我的赌注是n * log (n)，因为我们在size长度上有两次叠加迭代，第二次在size - i，但我不确定。

欢迎复杂的正式证明！

Answer 1

这是一个O（N ² ）算法。

• 外循环的第一次迭代运行N-1次
• 外循环的第二次迭代运行N-2次
• 外循环的第三次迭代运行N-3次
• ...
• 外循环的最后一次迭代运行一次

总次数是（N）+（N-1）+（N-2）+ ... + 1，即sum of arithmetic progression。计算和的公式是N *（N-1）/ 2，即O（N ² ）。