Question

我有以下约束我试图使用Python的PuLP模块在混合整数编程中进行建模：

给定线性编程变量：x1,x2,y1,y2其中x1，x2，y1，y2最终求解为整数值

if (x1<=y2 and y1<=x2) then a=1 else b=0

我不确定如何处理Logical AND中的IF condition。如果AND没有出现，我知道我必须使用Big-M表示法。

Answer 1

首先，这不是线性编程而是混合整数编程，因为AND约束不是线性的，也不是暗示。我还假设a和b都是二进制变量。然后，您可以按如下方式重新制定问题：

x1    >  y2 + m*z1
y1    >  x2 + m*z2
a + 1 >= z1 + z2
a     <= z1
a     <= z2
a - b >= 0

此处，m需要是某个（负）下限，即m < x1-y2和m < y1-x2。 z1和z2都是二进制变量。要绕过<不等式，您可能需要在前两个约束中添加一些小epsilon：

x1    >= y2 + (m-eps)*z1 + eps
y1    >= x2 + (m-eps)*z2 + eps

Answer 2

我发现了一种适用于IF-THEN-ELSE的配方，无论给出的问题如何。在答案的后半部分，我正在使用@ mattmilten的答案中描述的z1, z2变量来处理AND condition

中的if statement

假设问题是以下规范：

if α > 0 then β >= 0 else γ >= 0

然后，

α - z * U_α <= 0          # (1)
α - (1 - z)(L_α - 1) > 0  # (2)
β - (1 - z)L_β >= 0       # (3)
γ - z * L_γ >= 0          # (4)

其中，

L_α, L_β, L_γ # are constant lower bounds on α, β, γ (or values smaller than the lowest value they can take) 
U_α           # is a constant lower bounds on α 
z             # is a LP variable that can take values {0,1}

如果z == 1

然后等式（1）和（4）是多余的，then condition或（3）被强制执行

如果z == 0

然后等式（2）和（3）是多余的，else condition或（4）被强制执行

对于这个问题

我们运行两次，第一次用α=α1，第二次用α=α2。

其中，

α1 = y2 - x1
z1 = decision variable for α1 with values {0,1} 
α2 = y1 - x2
z2 = decision variable for α2 with values {0,1} 

β # Currently unnecessary for my particular question. 
γ # Currently unnecessary for my particular question.

因此我们的约束变为：

α1 - z1 * U_α1 <= 0          # (1-1)
α1 - (1 - z1)(L_α1 - 1) > 0  # (1-2)
α2 - z2 * U_α2 <= 0          # (2-1)
α2 - (1 - z2)(L_α2 - 1) > 0  # (2-2)

如果z1 = 1，则if条件的第一部分为真。即。 X1＆LT = Y2

如果z2 = 1，则if条件的第二部分为真。即。 X2＆LT; = Y1

现在，使用@ mattmilten的配方来确保两种情况：

a + 1 >= z1 + z2
a     <= z1
a     <= z2
a - b >= 0

这确保z1和z2都必须> = 1才能使a = 1。如果a = 1则b可以是b = 1或b = 0而不违反最后一个条件。

如果a = 0，那么我们处于else条件，因此b必须为0.

混合整数编程IF-THEN与逻辑AND操作

2 个答案:

如果z == 1

如果z == 0

对于这个问题