Question

存在一个有向图（不一定连接），其中一个或多个节点被区分为源。可从任何一个源访问的任何节点都被视为“已点亮”。现在假设其中一条边被移除。问题是确定先前已点亮且不再点亮的节点。

我认为可以考虑类似城市电力系统的类比。

Answer 1

这是一个“动态图形可达性”问题。以下文章应该是有用的：

A fully dynamic reachability algorithm for directed graphs with an almost linear update time. Liam Roditty，Uri Zwick。 计算理论，2002。

这给出了一个算法，其中包含O（m * sqrt（n）） - 时间更新（摊销）和O（sqrt（n）） - 可能循环图上的时间查询（其中m是边数和n节点数）。如果图形是非循环的，则可以将其改进为O（m）时间更新（摊销）和O（n / log n）时间查询。

考虑到问题的具体结构，或者通过时间交换空间，你总是可以做得比这更好。

Answer 2

如果不是“点亮”或“不点亮”，您将保留一组节点从其供电或点亮的节点，并将具有空集的节点视为“未点亮”，并将节点视为非空设置为“lit”，然后删除边缘只会涉及从目标节点的集合中删除源节点。

编辑：忘了这个：如果你移除了集合中的最后一个lit-from-node，则遍历边缘并删除你刚刚从它们的集合中“解开”的节点（也可能从那里遍历，依此类推）

EDIT2（改为tafa）：首先：我误读了原来的问题，并认为它表明，对于每个节点，已经知道它是点亮或不点亮的，现在我重新阅读它，没有被提及。

但是，如果您网络中的每个节点都存储了一个包含其被点亮的节点的集合，您可以轻松地从删除的边缘遍历图形并修复任何点亮/不亮的参考。因此，例如，如果我们有节点A，B，C，D像这样:(对ascii艺术的跛脚尝试）

A -> B >- D
 \-> C >-/

然后在节点A，你会存储它是一个源（并因此自己点亮），并且在B和C中你将存储它们被A点亮，而在D中你会存储它被两个点亮A和C.

然后说我们将边缘从B移到D：在D中我们从点亮源列表中移除B，但它仍然点亮，因为它仍然被A点亮。接下来说我们在A之后将边缘从A移到C即：A从C的集合中删除，因此C不再点亮。然后我们继续遍历起源于C的边缘，并从D的集合中移除C，现在也是未点亮的。在这种情况下，我们已经完成了，但如果这个集合更大，我们就会从D继续。

此算法只会访问直接受删除或添加边缘影响的节点，因此（除了每个节点所需的额外存储空间外）应接近最佳状态。

Answer 3

这是你的作业吗？

最简单的解决方案是从源节点开始在原始图上执行DFS（http://en.wikipedia.org/wiki/Depth-first_search）或BFS（http://en.wikipedia.org/wiki/Breadth-first_search）。这将为您提供所有原始点亮的节点。

现在删除有问题的边缘。再做一次DFS。您仍然可以保持点亮的节点。

输出出现在第一组但不是第二组的节点。

这是渐近最优算法，因为你做了两个DFS（或BFS），它们占用O（n + m）次和空间（其中n =节点数，m =边数），这决定了复杂性。您需要至少o（n + m）的时间和空间来读取输入，因此算法是最佳的。

现在，如果你想删除几个边缘，那将会很有趣。在这种情况下，我们将讨论动态数据结构。这是你的意图吗？

编辑：考虑到评论：

未连接不是问题，因为在搜索期间将无法访问无法访问的连接组件中的节点
有一种智能方法可以同时从所有节点执行DFS或BFS（我将描述BFS）。你只需要将它们全部放在堆栈/队列的开头。

BFS的伪代码，用于搜索从任何起始节点可到达的所有节点：

Queue q = [all starting nodes]
while (q not empty)
{
   x = q.pop()
   forall (y neighbour of x) {
      if (y was not visited) {
         visited[y] = true
         q.push(y)
      }
   }
}

用堆栈替换队列，你得到一种DFS。

Answer 4

图表的大小和连接程度如何？您可以将源节点中的所有路径存储到所有其他节点，并查找节点，其中该节点的所有路径都包含一个删除边。

编辑：稍微扩展此说明

从每个源节点执行DFS。跟踪生成到每个节点的所有路径（作为边，而不是顶点，因此我们只需要知道所涉及的边，而不是它们的顺序，因此我们可以使用位图）。保持每个节点对从源到节点的路径数量的计数。

现在迭代路径。删除包含已删除边的任何路径，并减少该节点的计数器。如果节点计数器减少到零，则它被点亮，现在不是。

Answer 5

在构建图形时，我会保留连接源节点的信息。（例如，如果边缘连接到源S1和S2，其源列表包含S1和S2）并创建具有以下信息的节点：输入边和输出边。删除边时，通过考虑节点的输入边来更新该边的目标节点的输出边。并使用DFS或BFS遍历更新边的所有目标节点。（如果是循环图，请考虑标记）。在更新图形时，还可以找到没有任何具有源连接的边缘的节点（lit-> unlit节点）。但是，如果您想同时删除多个边缘，可能不是一个好的解决方案，因为这可能会导致一次又一次地遍历相同的边缘。

有没有合适的算法来解决边缘去除问题？

5 个答案: