从给定的事实中有效地获得图表

Question

我在二维平面上有一组点（xy）说n点。

(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), ......................., (xn, yn)

我的目标是绘制图表。 iff中将连接图中的两个节点（点） abs(difference in x coordinate) + abs(difference in y coordinate) = L(given)。

可以O(n*n)完成。是否有可能有效地做到这一点。

BTW我正在尝试解决this问题

Answer 1

您可以在O（ n log n + E ）时间内执行此操作，其中 E 是你最终得到的实际边数（即邻居对的数量）。

对于任何给定点，其允许的邻居位置形成菱形，边长 L √2：

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*       o       *
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如果按 x + y 对点进行排序，并回退到 x - y ，那么单个O（ n + E ）通过排序点将允许您找到此类型的所有邻居：

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        o       *

每个点。 （为此，您使用索引i来跟踪您正在寻找邻居的当前点，并使用单独的索引j来跟踪允许的邻居行，以便 X <子>Ĵ - ý <子>Ĵ = X <子> I - < em> y _i + L 。这听起来像是O（ n ² ），因为你有两个索引进入数组;但诀窍是j随着i单调递增，所以i和j中的每一个只生成一个单< / em>传递数组。这甚至可以是O（ n ）传递，除非你找到（ x _i sub>， y _i ），那么你需要将它们重新视为（ x _{i + 1}的潜在邻居}， y _{i + 1} ），所以你不能增加j。所以它出现在O（ n < / em> + E ）传递。）

然后您可以通过 y - x 重新排序它们，并回退到 x + y ，并且重复这个过程找到这些邻居：

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*       o

由于邻居是一种对称关系，你实际上并不需要担心剩下的邻居：

        o
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    *       *
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（整体O（ n 日志 n + E ）时间包括O（ n log n ）对点进行排序的时间加上两个O（ n + E ）传递的时间。）

Answer 2

鉴于对数据的某些假设，当然可以有效地做到这一点。我会考虑更一般的情况。例如，如果点均匀分布且相互作用距离L(given)相对于数据的扩展较小，则可以通过对粒子进行分级将问题转换为O(n)。

这会将你从左边的情况带到右边的情况：

bin的大小为>=L(given)，对于任何粒子，都会搜索粒子的bin和8个相邻的bin。如果bin中的粒子数平均为d，则问题可在O(9dn)=O(n)时间内解决。

Answer 3

与上述相关的另一种可能性是使用稀疏矩阵结构将1值存储在所有点的位置，并在其他地方存储0值。

虽然存在很好的库，但你可以通过提出一个结合了x和y坐标的哈希来伪造它。在C ++中看起来像：

std::unordered_set< std::pair<int,int> > hashset;

预先设定散列表，这样可能比避免昂贵的重新散列所需的量大30-50％。

将所有点添加到hashset;这需要O(n)时间。

现在，交互距离L(given)定义了一个围绕中心点的菱形。您可以预生成此钻石的偏移列表。例如，如果L=2，则偏移量为：

int dx[]={0,-2,-1,0,1,2, 1,0,-1};
int dy[]={0, 0, 1,2,1,0,-1,2,-1};

现在，对于每个点，循环偏移列表并将它们添加到该点的坐标。这会生成一个隐含的邻居可能位置列表。使用hashset检查该邻居是否存在。这需要O(n)时间，并且如果8L << N（有一些关于可从第一个节点到达的邻居数量的资格），则效率很高。

Answer 4

我非常喜欢ruakh @的解决方案。另一种方法是允许逐渐增加点集而不损失效率。

要添加每个点P，您需要在树中搜索符合条件的点Q，并在找到任何点时添加边。

在任何k-d树搜索的每个级别，都有可用的每个孩子代表的矩形范围。在这种情况下，只有当它的范围可能包含匹配PIe的点时，您才会继续搜索“向下”进入子节点，该矩形必须包含ruakh @描述的钻石的某些部分。

分析k-d树搜索通常很棘手。我很确定这个算法在一个随机点集的预期O（| E | log n）时间内运行，但是很容易想象性能更好的点集和其他更差的点集。

Answer 5

考虑行y = x和y = -x 考虑每个点与这些线的距离。 只有当它们与这两条线的距离正确时才连接两个点。 因此，您可以按距离将所有点存储到这些线上。然后在每个桶中，有一个有序的点映射（按它们沿着它们的距离排序）。此有序地图中正确距离内的任何点都应在图表中连接。 应该是N * Log（N）更糟的情况，即使所有的点都在彼此的顶部。