Question

假设从1951年到1980年我有100个台站的年降水量数据。在一些论文中，我发现人们将PCA应用于时间序列，然后绘制空间载荷图（值为-1到1），并绘制图表。 PC的时间序列。例如，https://publicaciones.unirioja.es/ojs/index.php/cig/article/view/2931/2696中的图6是PC的空间分布。

我在R中使用函数prcomp，我想知道如何做同样的事情。换句话说，如何从prcomp函数的结果中提取“空间模式”和“时间模式”？感谢。

set.seed(1234)
rainfall = sample(x=100:1000,size = 100*30,replace = T)
rainfall=matrix(rainfall,nrow=100)
colnames(rainfall)=1951:1980
PCA = prcomp(rainfall,retx=T)

或者，https://1drv.ms/u/s!AnVl_zW00EHegxAprS4s7PDaYQVr

有实际数据

Answer 1

“时间模式”解释了所有网格中时间序列的主要时间变化，它由PCA的主成分（PC，多个时间序列）表示。在R中，对于最重要的PC，PC1是prcomp(data)$x[,'PC1']。

“空间模式”解释了PC依赖于某些变量（在您的情况下为地理位置）的强大程度，并且由每个主要组件的加载表示。例如，对于PC1，它是prcomp(data)$rotation[,'PC1']。

以下是使用您的数据为R中的时空数据构建PCA并显示时间变化和空间异质性的示例。

首先，必须将数据转换为带有变量（空间网格）和观测值（yyyy-mm）的data.frame。

加载和转换数据：

load('spei03_df.rdata') 
str(spei03_df) # the time dimension is saved as names (in yyyy-mm format) in the list
lat <- spei03_df$lat # latitude of each values of data
lon <- spei03_df$lon # longitude
rainfall <- spei03_df 
rainfall$lat <- NULL
rainfall$lon <- NULL
date <- names(rainfall)
rainfall <- t(as.data.frame(rainfall)) # columns are where the values belong, rows are the times

要了解数据，请在地图上绘制1950年1月的数据：

library(mapdata)
library(ggplot2) # for map drawing

drawing <- function(data, map, lonlim = c(-180,180), latlim = c(-90,90)) {
  major.label.x = c("180", "150W", "120W", "90W", "60W", "30W", "0", 
                    "30E", "60E", "90E", "120E", "150E", "180")
  major.breaks.x <- seq(-180,180,by = 30)
  minor.breaks.x <- seq(-180,180,by = 10)

  major.label.y = c("90S","60S","30S","0","30N","60N","90N")
  major.breaks.y <- seq(-90,90,by = 30)
  minor.breaks.y <- seq(-90,90,by = 10)
  panel.expand <- c(0,0)

  drawing <- ggplot() + 
    geom_path(aes(x = long, y = lat, group = group), data = map) + 
    geom_tile(data = data, aes(x = lon, y = lat, fill = val), alpha = 0.3, height = 2) + 
    scale_fill_gradient(low = 'white', high = 'red') + 
    scale_x_continuous(breaks = major.breaks.x, minor_breaks = minor.breaks.x, labels = major.label.x, 
                       expand = panel.expand,limits = lonlim) +
    scale_y_continuous(breaks = major.breaks.y, minor_breaks = minor.breaks.y, labels = major.label.y,
                       expand = panel.expand, limits = latlim) +
    theme(panel.grid = element_blank(), panel.background = element_blank(),
          panel.border = element_rect(fill = NA, color = 'black'),
          axis.ticks.length = unit(3,"mm"),
          axis.title = element_text(size = 0),
          legend.key.height = unit(1.5,"cm"))

  return(drawing)
}

map.global <- fortify(map(fill=TRUE, plot=FALSE))
dat <- data.frame(lon = lon, lat = lat, val = rainfall["1950-01",])
sample_plot <- drawing(dat, map.global, lonlim = c(-180,180), c(-90,90))
ggsave("sample_plot.png", sample_plot,width = 6,height=4,units = "in",dpi = 600)

如上所示，所提供的链接给出的网格化数据包括代表加拿大降雨量（某些指数？）的值。

主成分分析：

PCArainfall <- prcomp(rainfall, scale = TRUE)
summaryPCArainfall <- summary(PCArainfall)
summaryPCArainfall$importance[,c(1,2)]

它显示前两台PC解释了降雨数据的10.5％和9.2％的变化。

我自己提取前两台PC和PC时间序列的负载： “空间模式”（载荷），显示趋势强度（PC1和PC2）的空间异质性。

loading.PC1 <- data.frame(lon=lon,lat=lat,val=PCArainfall$rotation[,'PC1'])
loading.PC2 <- data.frame(lon=lon,lat=lat,val=PCArainfall$rotation[,'PC2'])

drawing.loadingPC1 <- drawing(loading.PC1,map.global, lonlim = c(-180,-30), latlim = c(40,90)) + ggtitle("PC1")
drawing.loadingPC2 <- drawing(loading.PC2,map.global, lonlim = c(-180,-30), latlim = c(40,90)) + ggtitle("PC2")

ggsave("loading_PC1.png",drawing.loadingPC1,width = 6,height=4,units = "in",dpi = 600)
ggsave("loading_PC2.png",drawing.loadingPC2,width = 6,height=4,units = "in",dpi = 600)

“时间模式”，前两个PC时间序列，显示数据的主要时间趋势

library(xts)
PC1 <- ts(PCArainfall$x[,'PC1'],start=c(1950,1),end=c(2014,12),frequency = 12)
PC2 <- ts(PCArainfall$x[,'PC2'],start=c(1950,1),end=c(2014,12),frequency = 12)
png("PC-ts.png",width = 6,height = 4,res = 600,units = "in")
plot(as.xts(PC1),major.format = "%Y-%b", type = 'l', ylim = c(-100, 100), main = "PC") # the black one is PC1
lines(as.xts(PC2),col='blue',type="l") # the blue one is PC2
dev.off()

然而，这个例子绝不是您数据的最佳PCA，因为PC1和PC2存在严重的季节性和年度变化（当然，夏季降雨量更多，看看PC的弱尾巴）。

您可以通过延迟数据或通过回归消除年度趋势来改善PCA，如文献所示。但这已经超出了我们的主题。

时间序列数据的主成分分析（PCA）：空间和时间模式

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