Question

我想解决以下等式：tan（x）= 1 / x

我做了什么：

syms x
eq = tan(x) == 1/x;
sol = solve(eq,x)

但这只给出了解决方案的一个数值近似值。之后我读到了以下内容：

[sol, params, conds] = solve(eq, x, 'ReturnConditions', true)

但这告诉我它无法找到明确的解决方案。

如何在某个给定范围内找到该等式的数值解？

Answer 1

我从不喜欢使用解算器＆＃34;盲目地＆＃34;，也就是说，没有某种合适的初始值选择方案。根据我的经验，盲目做事时会发现的价值观也是没有背景的。意思是，你经常会错过解决方案，认为某些东西是解决方案，而实际上解算器会爆炸，等等。

对于这种特殊情况，重要的是要认识到fzero使用数值导数来找到越来越好的近似值。但是，f(x) = x · tan(x) - 1的衍生物越来越难以准确计算增加x：

如您所见，x越大，f(x)越接近垂直线; fzero只会爆炸！因此，在进入fzero之前，必须尽可能密切估算解决方案。

所以，这是一种获得良好初始值的方法。

考虑功能

f(x) = x · tan(x) - 1

知道tan(x)有Taylor expansion：

tan(x) ≈ x + (1/3)·x³ + (2/15)·x⁵ + (7/315)·x⁷ + ...

我们可以使用它来近似函数f(x)。在第二学期之后截断，我们可以写：

f(x) ≈ x · (x + (1/3)·x³) - 1

现在，要实现的关键是tan(x)重复句点π。因此，考虑函数族是最有用的：

fₙ(x) ≈ x · ( (x - n·π) + (1/3)·(x - n·π)³) - 1

对这几个倍数进行评估并收集术语会给出以下概括：

f₀(x) = x⁴/3 - 0π·x³ + ( 0π² + 1)x² - (0π +   (0π³)/3)·x  - 1
f₁(x) = x⁴/3 - 1π·x³ + ( 1π² + 1)x² - (1π +   (1π³)/3)·x  - 1
f₂(x) = x⁴/3 - 2π·x³ + ( 4π² + 1)x² - (2π +   (8π³)/3)·x  - 1
f₃(x) = x⁴/3 - 3π·x³ + ( 9π² + 1)x² - (3π +  (27π³)/3)·x  - 1
f₄(x) = x⁴/3 - 4π·x³ + (16π² + 1)x² - (4π +  (64π³)/3)·x  - 1
                              ⋮
fₙ(x) = x⁴/3 - nπ·x³ + (n²π² + 1)x² - (nπ +  (n³π³)/3)·x  - 1

在一个简单的MATLAB测试中实现所有这些：

% Replace this with the whole number of pi's you want to 
% use as offset 
n = 5;

% The coefficients of the approximating polynomial for this offset
C = @(npi) [1/3
            -npi
            npi^2 + 1
            -npi - npi^3/3
            -1];

% Find the real, positive polynomial roots
R = roots(C(n*pi));
R = R(imag(R)==0);
R = R(R > 0);

% And use these as initial values for fzero()
x_npi = fzero(@(x) x.*tan(x) - 1, R)

在循环中，这可以生成下表：

% Estimate (polynomial)    Solution (fzero)
 0.889543617524132          0.860333589019380    0·π
 3.425836967935954          3.425618459481728    1·π
 6.437309348195653          6.437298179171947    2·π
 9.529336042900365          9.529334405361963    3·π
12.645287627956868         12.645287223856643
15.771285009691695         15.771284874815882    
18.902410011613000         18.902409956860023
22.036496753426441         22.036496727938566    ⋮
25.172446339768143         25.172446326646664    
28.309642861751708         28.309642854452012
31.447714641852869         31.447714637546234
34.586424217960058         34.586424215288922   11·π

如您所见，近似值基本上等于解决方案。对应情节：

Answer 2

要查找某个范围内的函数的数值解，可以像这样使用fzero：

fun = @(x)x*tan(x)-1; % Multiplied by x so fzero has no issue evaluating it at x=0.
range = [0 pi/2];
sol = fzero(fun,range);

以上只返回一个解决方案（0.8603）。如果您需要其他解决方案，则需要多次致电fzero。例如，这可以在循环中完成：

fun = @(x)tan(x)-1/x;

RANGE_START = 0;
RANGE_END = 3*pi;
RANGE_STEP = pi/2;

intervals = repelem(RANGE_START:RANGE_STEP:RANGE_END,2);
intervals = reshape(intervals(2:end-1),2,[]).';

sol = NaN(size(intervals,1),1);

for ind1 = 1:numel(sol)
  sol(ind1) = fzero(fun, mean(intervals(ind1,:)));
end

sol = sol(~isnan(sol)); % In case you specified more intervals than solutions.

给出了：

[0.86033358901938;
 1.57079632679490; % Wrong
 3.42561845948173;
 4.71238898038469; % Wrong
 6.43729817917195; 
 7.85398163397449] % Wrong

请注意：

功能是对称的，其根源也是如此。这意味着您可以仅在正间隔（例如）上解决并获得“免费”的负根。
sol中的所有其他条目都是错误的，因为这是我们渐近不连续的地方（tan从+Inf过渡到-Inf），这被MATLAB错误地识别为一个办法。所以你可以忽略它们（即sol = sol(1:2:end);。

Answer 3

将公式乘以var first = [{ "id": 1, "name": "python" }, { "id": 2, "name": "NodeJs" }, { "id": 3, "name": "git" }]; var selectedExpTags = [1,2]; var names = first.filter(item => selectedExpTags.some(id => item.id === id)).map(item => item.name); console.log(names);和x，以避免任何可以具有值cos(x)的分母，

考虑规范化函数

f(x)=x*sin(x)-cos(x)==0

对于较大的h(x)=(x*sin(x)-cos(x)) / (abs(x)+1)，这将越来越接近x（或sin(x)对于大的负-sin(x)）。实际上，对于x来说，绘制这个已经在视觉上是正确的，直到幅度因子。

对于x>pi中的第一个根，使用第二度[0,pi/2] x=0处的泰勒逼近得到x^2-(1-0.5x^2)==0作为根近似，对于较高的那些采用正弦根x[0]=sqrt(2.0/3)，x[n]=n*pi作为牛顿迭代n=1,2,3,...的初始近似值

xnext = x - f(x)/f'(x)

如何在MATLAB中获得该方程的所有解？

3 个答案: