给定n个节点上的红黑树，任何根到叶子路径上的红色节点的最大数量是多少？

Question

这是一个测验问题。我不确定我的答案是否正确。请帮帮我。

让我们说高度为h，因为没有两个连续的节点（当我们上树时）可以是红色，红色节点的最大数量不是h / 2吗？ （h = log n）

不知何故，我觉得这不是正确的答案。

任何帮助/输入将不胜感激！

提前非常感谢你！

Answer 1

**编辑**这个答案假定高度的定义是从根到叶子的最长路径中的节点数（例如，在lecture notes here中使用），包括＆＃34;虚拟＆＃34 ;黑叶节点。更常见的定义计算边数，并且不包括叶节点。使用此定义，答案为round(h/2)，如果将叶节点包含在高度round_down(h/2)中。 **编辑结束**

如果您按照Wikipedia中的根节点为黑色的规则，则正确答案是小于h / 2的最大整数。这只是因为根和叶是黑色的，并且其间的一半节点（向上舍入）可以是红色的。即round((h-2)/2)

你也可以通过考虑一些不同高度的小红黑树来找到规则。

案例h=1根是黑色的 - ＆gt; 0个红色节点

案例＆＃39; h = 2＆＃39;根是黑色的，叶子是黑色的 - ＆gt; 0个红色节点

案例h=3根是黑色，第二级可以是红色，而树叶必须是黑色 - ＆gt;最多1个红色节点

案例h=4根是黑色，第二级可以是红色，第三级必须是黑色，而叶子必须是黑色 - ＆gt;最多1个红色节点

案例h=5黑色，红色，黑色，红色，黑色 - ＆gt;最多2个红色节点。

作为h函数的n比较棘手，但可以显示h <= 2 log (n+1)，它可以保证对数搜索时间。有关证明，请参阅Searching and Search Trees II (page 11)。证明基于以下事实：红黑树的规则保证从x开始的子树包含至少2^(bh(x)) - 1个内部节点，其中bh(x)是黑色高度 - 数量为从根到叶的路径中的黑色节点。这通过归纳证明了。然后通过注意到最多一半的节点是黑色的（我们说的是子树，因此根可以是红色的）bh(x) >= h/2。现在使用这些结果我们得到n >= 2^bh(x) - 1 >= 2^(h/2) -1。求解h，我们得到答案h <= 2 log(n+1)。

由于问题是测验，因此h与log(n)或log(n)成正比应该足够了。

Answer 2

让我们首先看看有多少节点（最小化 n ）来制作一个带有1个红色节点的路径（*为黑色）：

  *
 / \
*   R
   / \
  *   *

当需要1个红色节点时， n 必须至少为5。它有3个叶子节点和2个内部节点。删除任何节点都需要删除红色节点以保持在the rules范围内。

如果我们想要扩展此树以获得具有2个红色节点的路径，我们可以应用以下两个步骤：

1. 所有叶子都有两个黑人孩子
2. 最右边的叶子（刚刚添加）变成了一个红色的节点，它有2个黑人孩子。

美元符号是与普遍树相比增加的黑色节点：

    *
   / \
  *   R
 /|  / \
$ $ *   *
   /|  / \
  $ $ $   R
         / \
        $   $

我们选择在右侧放置红色节点的路径;这种选择不会影响结论。请注意，在其他较短路径中添加红色节点没有帮​​助，因为这样只会增加节点数量而不会增加最多红色节点的路径。

叶节点数（L）在步骤1中翻倍，而叶子节点成为内部节点（I）。 第二步增加了内部节点的数量和叶子数量1.更正式地说，我们可以找到这些公式，其中索引 r 表示红色节点的数量：

L ₁ = 3
我 ₁ = 2

L _{r + 1} = 2L _r + 1
I _{r + 1} = I _r + L _r + 1

放入表格以增加 r ：

  r |   L |   I |  n=L+I
----+-----+-----+-------
  1 |   3 |   2 |   5
  2 |   7 |   6 |  13
  3 |  15 |  14 |  29
  4 |  31 |  30 |  61
... | ... | ... | ...

我们可以看到以下情况：

L _r = 2 ^{r + 1} - 1
I _r = 2 ^{r + 1} - 2

所以：

n _r = 2 ^{r + 2} - 3

因此，我们有一个公式，用于了解具有 r 红色节点的路径所需的最小节点数。我们需要一个不同的关系：给定 n 时 r 的最大值。

从上面我们可以推导出：

r =⌊log ₂ （n + 3）⌋ - 2