优化线段上的2参数距离函数（ACM ICPC Regionals Elim。）

Question

此问题是ACM ICPC坎普尔地区消除回合中提出的问题的子问题：

鉴于分别由2D点(Pa, Pb)和(Pc, Pd)限定的2个线段，找到最小化的p和q（在[0,1]范围内）功能

f(p, q) = D(Px, Pa) + D(Py, Pd) + k D(Px, Py) where 
                                2 <= k <= 5, 
                                Px = p Pa + (1-p) Pb, 
                                Py = q Pc + (1-q) Pd and 
 D(x, y) is the euclidean distance between points x and y

（实际上，Px和Py是线段上的点，该函数编码通过成本为欧几里德距离的成本的连接链路从Pa到Pd的成本）

关于这个功能的一些观察：

1. 平行线段始终会导致p和q中的至少一个为0或1
2. 相交的线段总是会导致p和q找到线段的交点（可以应用三角形不等式来证明这一点）

问题： 在线条倾斜且可能分离的一般情况下，我们如何最小化此功能？

Answer 1

我认为您应该能够对f和p采用q的偏导数，将它们设置为0，并求解p和{ {1}}。这将给你一个（本地）最低限度。如果最小值为q和0 <= p <= 1，则表示已完成，否则请检查四个端点（0 <= q <= 1，依此类推）。

我不肯定这会处理所有退化的情况，但它应该是一个良好的开端。