Question

分数背包的最坏情况运行时间是O（n），那么它应该是最好的情况呢？是O（1），因为如果一个重量限制是16并且你得到第一个有价值的项目，是不是？

Answer 1

如果您假设输入是按值排序的顺序给出的话，则为True !!!

但是根据定义，算法也需要采用非排序输入。 see this.

如果您正在考虑可能排序或未排序的正常输入。然后有两种方法可以解决这个问题：

对输入进行排序。即使在最好的情况下，如果你使用气泡/插入排序也不能小于O（n）。这看起来完全是愚蠢的，因为这两种排序算法都具有O（n ^ 2）avarage /最差情况下的性能。
使用weighted medians方法。这将花费你O（n），因为找到加权中位数将采用O（n）。这种方法的代码如下。

分数背包的加权中位数法

我们将在以下代码中处理每单位项目的价值。代码将首先找到中间值（即，如果以排序顺序给出，则每单位项目的值的中间值）并将其置于其正确位置。我们将使用快速排序分区方法。一旦我们得到中间（称之为mid）元素，需要考虑以下两种情况：

当mid右侧的所有项目的权重总和超过W的值时，我们需要在mid的右侧搜索我们的答案。< / LI>
否定中间右侧的所有值（称为v_left）并在中间左侧搜索W-v_left（包括mid）。

以下是python中的实现（在任何地方只使用浮点数）：

请注意，我没有向您提供生产级别代码，并且有些情况也会失败。想想在阵列中找到第k个最大值会导致最坏情况/失败的原因（当所有的值都相同时）。

def partition(weights,values,start,end):
    x = values[end]/weights[end]
    i = start
    for j in range(start,end):
        if values[j]/weights[j] < x:
            values[i],values[j] = values[j],values[i]
            weights[i], weights[j] = weights[j],weights[i]
            i+=1 


    values[i],values[end] = values[end],values[i]
    weights[i], weights[end] = weights[end],weights[i]

    return i


def _find_kth(weights,values,start,end,k):
    ind = partition(weights,values,start,end)
    if ind - start == k-1:
        return ind
    if ind - start > k-1:
        return _find_kth(weights,values,start,ind-1,k)
    return _find_kth(weights,values,ind+1,end,k-ind-1)

def find_kth(weights,values,k):
    return _find_kth(weights,values,0,len(weights)-1,k)


def fractional_knapsack(weights,values,w):
    if w == 0 or len(weights)==0:
        return 0

    if len(weights) == 1 and weights[0] > w:
        return w*(values[0]/weights[0])

    mid = find_kth(weights,values,len(weights)/2)

    w1 = reduce(lambda x,y: x+y,weights[mid+1:])
    v1 = reduce(lambda x,y: x+y, values[mid+1:])

    if(w1>w):
        return fractional_knapsack(weights[mid+1:],values[mid+1:],w)


    return v1 + fractional_knapsack(weights[:mid+1],values[:mid+1],w-w1)

Answer 2

（与@ Shasha99讨论后编辑和重写答案，因为我觉得2016-12-06之前的答案有点欺骗）

<强>摘要

如果项目已经排序，

O(1)最好的情况是可能的。否则最好的情况是O(n)。

<强>讨论

如果物品没有排序，你需要找到最好的物品（对于一个物品已经填满背包的情况），而单独的物品需要O(n)，因为你必须检查所有物品。因此，最好的情况是O(n)。

在另一端，你可以有一个所有物品都适合的背包。不需要搜索最佳，但您需要将全部放入其中，因此它仍然是O(n)。

更多分析

有趣的是，O(n)最坏的情况并不意味着物品被分类。显然来自http://algo2.iti.kit.edu/sanders/courses/algdat03/sol12.pdf的想法与快速中位数选择算法（加权中位数或中位数中位数？）配对。感谢@ Shasha99找到这个算法。

请注意，普通的快速选择预期为O(n)，O(n*n)最差，但如果您使用的中位数中位数最差为O(n)。缺点是相当复杂的算法。

我对任何算法的工作实现感兴趣。更多来源（希望简单）算法也不会受到伤害。

分数背包的最佳案例

2 个答案: