运行时打印N下的所有素数

Question

int main() {
      int i, a[N];
      // initialize the array
      for(i = 2; i < N; i++) a[i] = 1;
      for(i = 2; i < N; i++)
         if(a[i])
              for(int j = i; j*i < N; j++) a[i*j] =0;
       // pirnt the primes less then N
       for(i = 2; i < N; i++)
           if(a[i]) cout << "  " << i;
       cout << endl;
}

在算法书中给出了我正在阅读上述程序的运行时间与N+N/2+N/3+N/5+N/7+N/11+...成正比，

请帮助我理解作者如何从程序中得出上述等式。 谢谢！ 文卡塔

Answer 1

这是寻找素数的“Eratosthenes筛选”方法。对于每个素数，if(a[i])测试成功并且内部循环被执行。考虑这个内循环在每个步骤终止的方式（记住，条件是j*i < N，或等价地，j < N/i）：

• i = 2 - ＆gt; j = 2,3,4，...，N / 2
• i = 3 - ＆gt; j = 3,4,5，...，N / 3
• i = 4 - ＆gt;
• i = 5 - ＆gt; j = 5,6,7，...，N / 5
• ...

总计操作总数（包括初始化数组/提取素数）给出了本书中提到的运行时。

有关详细信息，请参阅this question，包括讨论如何根据位{{3}转换为O（n（log n）（log log n）的扩展}。

Answer 2

该算法称为Eratosthenes的Sieve。这张图片解释了一切：

（来自维基百科）

Answer 3

内部循环（内部if(a[i])）仅针对素数i执行。即，i等于2,3,5,7,1 ......，对于单i，此循环具有大约N/i次迭代。因此，我们总体上进行了N/2 + N/3 + N/5 + N/7 + N/11 + ...次迭代。