Question

N 线段可以是水平线也可以是垂直线。现在我需要找出每个线段的交叉点总数和交叉点总数。 N 可以达到 100000 。我试着检查每一对线。答案是正确的，但我需要减少它所花费的时间。

这是我的代码：

using namespace std;

typedef struct Point
{
     long long int x;
     long long int y;
} ;


bool fun(Point p0, Point p1, Point p2, Point p3)
{
    double s1_x, s1_y, s2_x, s2_y;
    s1_x = p1.x - p0.x;     s1_y = p1.y - p0.y;
    s2_x = p3.x - p2.x;     s2_y = p3.y - p2.y;

    double s, t;
    s = (-s1_y * (p0.x - p2.x) + s1_x * (p0.y - p2.y)) / (-s2_x * s1_y + s1_x * s2_y);
    t = ( s2_x * (p0.y - p2.y) - s2_y * (p0.x - p2.x)) / (-s2_x * s1_y + s1_x * s2_y);

    if (s >= 0 && s <= 1 && t >= 0 && t <= 1)
    {
        return 1; // Collision detected
    }

    return 0; // No collision
}


int main()
{
     long long int n // number of line segments;

     Point p[n],q[n]; // to store end points of line segments

    for( long long int i=0;i<n;i++)
    {

// line segments is defined by 2 points P(x1,y1) and Q(x2,y2)
        p[i].x=x1;
        p[i].y=y1;
        q[i].x=x2;
        q[i].y=y2;
    }

    for( long long int i=0;i<n-1;i++)
    {
        for( long long int j=i+1;j<n;j++)
        {
            if(fun(p[i],q[i],p[j],q[j]))
               count++;
        }

    }

    return 0;
}

有人可以帮我减少这个程序的时间复杂度吗？

Answer 1

这是一个O（n log n）时间算法，它使用带有Fenwick树的扫描线。

第0步：协调重新映射

对x坐标进行排序，并将每个值替换为0..n-1中的整数，以便保留顺序。对y坐标执行相同的操作。保留了交集属性，同时允许下面的算法更容易实现。

第1步：平行线段

我将为水平线段描述此步骤。重复垂直段。

按y坐标对水平线段进行分组。一次处理一个组，为扫描线创建事件，如下所示。每个段在其较小的端点处获得启动事件，在其较大的端点处获得停止事件。如果您想要关闭的线段，则在停止前开始排序。按排序顺序扫描事件，跟踪当前与扫描线相交的线段数以及处理的启动事件数。段的平行交叉点的数量是（在开始时间相交的段的数量+在停止时间处理的开始事件的数量 - 在开始时间处理的开始事件的数量）。（另请参阅Given a set of intervals, find the interval which has the maximum number of intersections以获取此前的解释。）

第2步：垂直线段

我将根据每个水平线段计算它相交的垂直线段数来描述此步骤。

我们做另一种扫描线算法。事件是水平段开始，垂直段和水平段停止，按照该顺序排序，假设闭合线段。我们使用Fenwick树来跟踪每个y坐标到目前为止有多少垂直线段覆盖了y坐标。要处理水平开始，请从其交叉点计数中减去其y坐标的树值。要处理水平停止，请将其y坐标的树值添加到其交叉点计数。这意味着计数会增加差值，这是在活动时刺入水平线的垂直线段的数量。要处理垂直线段，请使用Fenwick树的强大功能快速递增其较小y坐标与其较大坐标之间的所有值（包括假定闭合线段）。

如果需要，可以组合这些扫描线算法。出于说明原因，我把它们分开了。

减少找到N线交叉点所需的时间

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