通过弯曲到方向来转换线段

Question

我不知道如何处理这个问题： 我需要相对于单位方向“弯曲”长度为1的段。 弯曲的强度在段的长度上为1 / y。 需要为段上的每个点定义转换，并保留长度。 以下我想到的是：

Answer 1

我假设您想要弯曲线段以使其具有恒定的曲率k，即它将是半径为1 / k的圆的长度为1的弧。然后段的点（0，t）映射到点：

(1 - cos(kt))/k    ,    sin(kt)/k

对于k的小值（即曲率很小且段几乎是直的），为了防止零除事故，你用下面的公式（这是上面的k的泰勒展开）来映射它= 0）：

  k t^2 / 2       ,      t - k^2 t^3 / 6

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假设你的方向向量是（x，y），那么在弧的末尾（t = 1）给出切线向量的相应曲率的值由下式给出：

k = atan2(x, y)