通过优化将一组数字转换为另一组数字的算法

Question

我们需要将一组整数A转换为另一组整数B，以使B元素的平方和等于某个给定值{{ 1}}。

由于可能存在多个这样的变换，我们需要找到M和A的相应元素之间差异的平方和最小的变换。

输入：

• 一组非负整数B = {a ₁ ， ₂ ， ₃ ... a _n }
• 非负整数A

输出：

• 一组数字M = {b ₁ ，b ₂ ，b ₃ ... b _n }，这样：
  • sum _{i = 1-＆gt; n} [b _i ^ 2] = B
  • sum _{i = 1-＆gt; n} [（a _i -b _i ）^ 2] = M被最小化。
• 最低金额S。

Answer 1

一点数学。

总和（a _i - b _i ） ² = Sum （ a _i ² - 2 a _i b _i + b _i ² ）= 总和 a _i ² - 2 Sum a _i b _i + Sum b _i ²

第一个词是不变的;最后一个是M（也是常数），所以你正在寻求最大化

总和 a _i b _i

限制 Sum b _i ² = M.

换句话说，您需要一个垂直于矢量A = {a _i }的超平面，与半球 sqrt （M）的超球面相切。这种超平面穿过法线与球体相交的点。这一点是 fA 与| fA | = sqrt （M）：

f = sqrt （M）/ sqrt （ Sum a _i ² ）

您的问题的解决方案是

b _i = a _i * sqrt （M）/ sqrt （ Sum a _i ² ）

Answer 2

编辑：到目前为止的答案，包括下面的答案，将A映射到一组实数而不是整数。据我所知，没有一般的解决方法，因为有许多M的值，没有满足约束的整数向量。例如：M = 2.没有整数向量，其平方和为2.即使M是平方和，它也是一定数量的平方和，所以即使M = 4也没有解，如果A有3个或更多非零组件。因此，没有一般的映射能够满足所述的问题。

这是允许B成为实数矢量的版本：

@ user58697的答案非常优雅。对于我们这些不太习惯用超几何思考的人来说，这可能是更直观的重述：

将A和B视为向量。然后以相同的方式开始：sum（a _i - b _i ） ² = sum（a _i ² ） - 2sum（a _i b _i ）+ sum（b _i ² ）

第一项是矢量A的平方，正如最后一项是矢量B平方的幅度一样。两者都是不变的，所以只有中期可以改变。这意味着我们想要最大化总和（a _i b _i ），这正是A和B（https://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product）的点积。当两个向量之间的角度为0时，两个向量的点积最大化，也就是说当它们是同向时（即它们指向相同的方向）。

这意味着A和B的单位矢量形式必须相同。那是： 一个<子> I / | A | = b _i / | B |。解决这个问题b _i ：b _i = a _i * | B | / | A |

但是| B |只是sqrt（M），A是sqrt（sum（a _i ² ））。所以，就像在user58697的版本中一样：

b _i = a _i * sqrt（M）/ sqrt（sum（a _i ² ） ）