Question

对于给定的N，[1,2,3，...，N]的多少个排列满足以下属性。

设P1，P2，...，PN表示置换。我们想要满足的属性是存在2和n-1（包括）之间的i，使得

Pj＆gt; Pj +1∀i≤j≤N - 1。

Pj＆gt; Pj - 1∀2≤j≤i。

喜欢N = 3

Permutations [1, 3, 2] and [2, 3, 1] satisfy the property.

是否有任何直接的公式或算法可以在编程中找到这些设置。

Answer 1

有2^(n-1) - 2个这样的排列。如果n是最大的元素，则排列由{1, 2, ..., n-1}的非空的适当子集唯一确定，该子集位于排列中n的左侧。这个答案与@גלעדברקן的优秀答案是一致的，因为众所周知的事实是Pascal三角形的每一行中的元素总和为2的幂（因此两者之间的行的部分比两个人的力量。）

这是一个生成所有n的Python枚举！排列并检查它们的有效性：

import itertools

def validPerm(p):
    n = max(p)
    i = p.index(n)
    if i == 0 or i == n-1:
        return False
    else:
        before = p[:i]
        after = p[i+1:]
        return before == sorted(before) and after == sorted(after, reverse = True)

def validPerms(n):
    nums = list(range(1,n+1))
    valids = []
    for p in itertools.permutations(nums):
        lp = list(p)
        if validPerm(lp): valids.append(lp)
    return valids

例如，

>>> validPerms(4)
[[1, 2, 4, 3], [1, 3, 4, 2], [1, 4, 3, 2], [2, 3, 4, 1], [2, 4, 3, 1], [3, 4, 2, 1]]

给出预期的数字6。

进一步编辑：以上代码用于验证非退化单峰排列的公式（用于拼写短语，因为“单峰排列”用于2^(n-1)排列的文献中恰好是一个峰值，但以n开头或结尾的2可以说在某种意义上是退化的。从枚举的角度来看，您可能希望做更有效的事情。以下是@גלעדברקן：

答案背后的想法的Python实现

def validPerms(n):
    valids = []
    nums = list(range(1,n)) #1,2,...,n-1
    snums = set(nums)
    for i in range(1,n-1):
        for first in itertools.combinations(nums,i):
            #first will be already sorted
            rest = sorted(snums - set(first),reverse = True)
            valids.append(list(first) + [n] + rest)
    return valids

它在功能上等同于上面的代码，但效率更高。

Answer 2

让我们看一个例子：

{1,2,3,4,5,6}

显然，6在i处的任何定位都意味着它的右侧将按降序排序，而其左侧将按升序排序。例如，i = 3

{1,2,6,5,4,3}
{1,3,6,5,4,2}
{1,4,6,5,3,2}
...

因此N与2之间n-1的每个定位都有(n - 1) choose (position - 1)个排列。这导致了答案：

sum [(n - 1) choose (i - 1)], for i = 2...(n - 1)

Answer 3

有ans烫发。和ans如下

ans等于2 ^（n-1）和 ans - = 2 因为它需要在2＆lt; = i＆lt; = n-1＆amp;＆amp;我们知道nC1和nCn = 1

没有。数字从1到n的排列，其中i> i + 1和i-1

3 个答案: