删除k个顶点后连接组件的数量

Question

我正在尝试解决以下图形问题：

  

给出了一般的未加权和无向图以及k（k <| V |）个顶点   事先已经知道。顶点按顺序删除。后   每次删除，有多少连通组件？

我想在每一步使用tarjan算法检查当前要删除的顶点是否是切割顶点，以便在执行删除时，我们可以简单地将邻居数添加到连接数组件。该算法的复杂性为O（V（V + E））。

我被告知有一个O（V + E）算法来执行此任务。但我无法弄明白。谷歌的研究也没有透露太多。有人可以告诉我吗？

Answer 1

我们可以使用事先知道顶点的事实。

让我们解决＆＃34;反向＆＃34;问题：给定一个图形和一个按顺序添加的列表顶点，计算每个加法结构后图形中连接组件的数量。

解决方案非常简单：我们可以维护一个不相交的集合联合结构，并将入射到顶点的所有边缘添加到图形中（它很容易保留此结构中的组件数量：最初，它是相等的到顶点的数量，当一个联合实际发生时减少一个）。

原来的问题被缩减为＆＃34;反向＆＃34;以下列方式之一：

1. 让我们将所有未删除顶点的边缘添加到不相交的集合联合中。

2. 现在我们可以反转已删除顶点的列表，并按上述方法逐个添加它们。

3. 之后，我们需要撤消包含组件数量的结果列表。

注意：此解决方案实际上不是O(V + E)，而是O(V + E * alpha(V))，其中alpha(x)是Ackermann的反函数。对于所有实际目的，它非常接近线性。