Question

我有一个N个数字的数组A.我必须找到所有子阵列之和的斐波纳契数的总和。例如：

A = {1,1}
F[Sum A[1,1]] = F[1] = 1
F[Sum A[1,2]] = F[2] = 1
F[Sum A[2,2]] = F[1] = 1
Ans = 1 + 1 + 1 = 3

问题类似于this，但我需要计算标准Fibonacci序列的总和。这是source code。

这里使用了什么属性？
任何人都能解释这背后的数学吗？如何避免O(N^2)解决方案？如何修改标准Fibonacci数的源代码？

Answer 1

这是一个在O(N * log MAX_A * k^3)时间内运行的解决方案（其中MAX_A是数组中的最大值，k是递归公式中使用的变量数（等于2对于斐波纳契和3对于你的问题链接的问题。）我不会参考你提供的源代码，因为它很难阅读，但看起来它使用类似的想法：

让我们快速了解如何计算i-th斐波纳契数。很容易看出f(i) = F^n * [1, 1].transposed()，其中F是一个矩阵[[1, 1], [1, 0]]（对于原始问题，它将是[[1, 1, 1], [1, 0, 0], [0, 0, 1]]。我们可以找到{{1}使用二进制求幂快速矩阵的幂。
让我们进一步发展这个想法。就矩阵而言，我们要求评估以下表达式：
```
n-th
```
或等效地（因为矩阵乘法对于加法是分布式的）
```
sum for all valid L, R of ((F^(a[L] + ... + a[R]) * [1, 1].transposed())[0])
```
现在我们需要弄清楚如何有效地计算这个总和。让我们学会逐步进行。让我们假设已经处理了位于((sum for all valid L, R of F^(a[L] + ... + a[R])) * [1, 1].transposed())[0]或更小位置的所有子数组，并且我们想要添加下一个。根据问题陈述，我们应该在答案中添加n，这等于F^a[n + 1] + F^(a[n + 1] + a[n]) + ... + F^(a[n + 1] + a[n] + ... + a[0])。

那就是它。我们已经有了有效的解决方案。这里有一个伪代码：

F^a[n + 1] * (F^a[n] + F^(a[n] + a[n - 1]) + ... + F^(a[n] + a[n - 1] + ... + a[0]))

假设矩阵pref_sum = I // identity matrix. This variable holds the second // term of the product used in step 3 total_sum = zeros // zero matrix of an appropriate size // It holds the answer to the problem for i = 0 .. N - 1 cur_matrix = binary_exponentiation(F, a[i]) // A matrix for the a[i]-th fibonacci number // Everything is updated according to the formulas shown above total_sum += pref_sum * cur_matrix pref_sum = pref_sum * cur_matrix + I // Now we just need to mulitiply the total_sum by an appropriate vector // which is [1, 1].transposed() in case of Fibonacci numbers的大小是常数（在Fibonacci数的情况下再次为2），时间复杂度为F，因为只有对原始数组的每个元素进行一次二进制求幂，然后进行恒定数量的矩阵乘法和加法。