如何在数学上证明垂直线的傅里叶变换？

Question

我试图在垂直线的Matlab中进行傅里叶变换。我制作一个100x100大小的矩阵A，并在一定数量的列向量中传递值1s，而其他值为0。

这是脚本（您可以在下面的屏幕截图中看到绘图结果）：

A = zeros(100,100);
A(:,10)=1;
A_FFT = abs(fft2(A));
figure, imshow(A,[]);
title('vertical line (A)');
figure, imshow(A_FFT,[]);
title('FFT of Vertical Line (A)');

从结果中，得到水平线矩阵A_FFT（u，v），其为A_FFT（1，：）= 100，其他矩阵分量为0。根据理论，是的，我可以理解为什么结果是这样的。但是，我需要在数学上证明它。我试图编写并解决矩阵A的DFT方程，但仍然没有得到正确的结果。任何人都可以帮助我如何以数学方式证明这一点吗？

截图：

左：原始垂直线，矩阵A;右：A的DFT，取fft2

Answer 1

水平变换给出值（与...成比例）

exp(i * (2*pi)/100 *10*k)

而垂直变换（沿着列的常量值）将所有系数设置为零，除了第0个。

自

abs(exp(i*whateverreal)) == 1

你得到一条纯白色的水平线。