找到第k个最小元素的以下算法的平均时间复杂度是多少？

Question

在数组中找到第k个最小数字的算法

1. 构建给定数组的前k个元素（arr [0]到arr [k-1]）的Max-Heap MH。 O（k）的

2. 对于每个元素，在第k个元素（arr [k]到arr [n-1]）之后，将它与MH的根进行比较。

   a）如果元素小于root，则将其设为root并为MH *

   调用heapify

   b）否则忽略它。

   //第2步是O（（n-k）* logk）

3. 最后，MH的根是第k个最小元素。

此解决方案的时间复杂度为O（k +（n-k） Logk）

如果不是确切的值，你能告诉它的粗略范围吗？我假设最好的情况是当k = n，然后时间= O（n），最坏的情况是当k = n / 2，然后O（n）= nlogn。

Answer 1

此算法的最坏情况，正如您所说的O（k +（n-k）* log（k））。我们说它一般是O（n log k），因为这是主导词。平均时间通常被确认为O（n log k）。

算法的实际运行时间由两个因素决定：k的值和项目的呈现顺序。通常，对于给定的n值，实际运行时间随着k的增加而增加。但有特殊情况。

请记住，仅当数字小于堆上已有的最大数字时才会发生O（log n）堆插入。也就是说，你有一个看起来像这样的循环：

for each remaining item
    if item < top of heap
        replace top of heap with this item

如果列表中的项目按升序排列，那么您将构建前k个项目的堆，并且永远不会再次修改堆。相反，如果列表按降序排列，则每个项目都将添加到堆中。

几年前我对这个和其他选择算法做了一些非常广泛的分析，并在我的博客中写了这篇文章。见When theory meets practice。