Question

我正在研究有关在leetcode找到两个排序数组联合中第k个最小元素的文章。我不认为算法是正确的。有这条线：我们观察到当Ai＆lt; Bj，那么Ai＆lt; BJ-1。另一方面，如果Bj <艾，然后Bj＆lt; AI-1 即可。对于任何i和j，情况如何？

其次，这一行也令我感到困惑：我们试图通过比较A和B的中间元素来解决这个棘手的问题，我们将其识别为Ai和Bj。如果Ai在Bj和Bj-1之间，我们刚刚找到了i + j + 1最小元素，尽管它是真实的。任何人都可以解释原因吗？我真的想要理解算法，我已经通过合并数组来完成它，但这需要O(N)时间，而O(log N)时间则需要{。}}。

Answer 1

你是孤立地解释这些陈述，但它们是相互依赖的。这是（我认为）你所指的文字：

维持不变量       i + j = k - 1，   如果Bj-1＆lt; Ai＆lt; Bj，然后艾必须是第k个最小的，   或者如果Ai-1＆lt; Bj＆lt;艾，然后Bj必须是第k个最小的。   如果满足上述条件之一，我们就完成了。如果没有，我们将使用i和j作为细分索引来细分数组。但是怎么样？我们应该丢弃哪部分？艾和Bj本身怎么样？

我们观察到当Ai＆lt; Bj，那么Ai＆lt; BJ-1。另一方面，如果Bj <艾，然后Bj＆lt; AI-1。为什么呢？

将其分解为子命题会产生以下解释（请记住，索引从0开始，但A0是第一个最小项，{ {1}}是第二个最小的项目，依此类推）：

A1（根据定义不变）
张贴i + j = k - 1。然后Bj-1 < Ai < Bj必须是Ai最小的k。这是因为Ai大于i中的A项，大于j中的B项。所以它总共大于i + j = k - 1个项目。这意味着合并的A|B列表中的 index 将为k - 1，因此它将是该列表中的k项。
张贴Ai-1 < Bj < Ai。然后Bj必须是k最小的，与2中的推理相同。
现在认为（a）Bj-1 < Ai < Bj和（b）Ai-1 < Bj < Ai都是 false 。然后很明显，如果Ai < Bj那么A1 < Bj-1，因为否则（a）将是真的。同样，如果Bj < Ai则Bj < Ai-1，否则，（b）将成立。

我告诉你，你想要解释这些陈述而不是整个算法。（但如果你愿意，我会说更多。）

另请注意，正如Daniel Fischer的回答提醒我的那样，上述推理只有在没有重复的情况下才有效;称之为命题0.

Answer 2

我们观察到Ai < Bj时，Ai < Bj-1必须为真。另一方面，如果Bj < Ai，则为Bj < Ai-1 ..对于任何i和j，情况如何？

所有i和j对都不是这样。本文考虑了一种特殊情况。

首先，假设没有重复，甚至没有A和B的共同元素的形式。二，结论

Ai < Bj ==> Ai < Bj-1,   resp.  Bj < Ai ==> Bj < Ai-1

是在

的条件下制作的

Bj-1 < Ai < Bj  resp. Ai-1 < Bj < Ai

成立。因此，通过排除这些配置，Ai < Bj ==> Ai <= Bj-1和Bj < Ai ==> Bj <= Ai-1会立即跟随，然后严格的不等式遵循不存在重复的假设。

我们试图通过比较A和B的中间元素来解决这个棘手的问题，我们将其识别为Ai和Bj。如果Ai在Bj和Bj-1之间，我们刚刚找到了i + j + 1个最小元素

在数组B中，有j个元素小于Bj，而在数组A中，有i个元素小于Ai }（索引从0开始）。因此，如果Bj-1 < Ai < Bj，则两个数组一起包含的j + i元素都小于Ai。

如果有重复项会有什么变化？

不多。

我们仍然考虑i + j = k-1的情况。我们假设Ai <= Bj。

如果Ai = Bj？
如果Ai < Bj？

在案例1中，让m成为最小的索引，使Am = Ai和n成为Bn = Bj的最小索引。然后在两个数组中，确实有m + n <= i + j = k-1个元素严格小于Ai，并且至少(i+1) + (j+1) = (k+1)个元素不大于Ai。因此，第k个最小元素等于Ai。

对于2.，我们需要考虑三种情况，a）Bj-1 < Ai，b）Bj-1 = Ai，c）Bj-1 > Ai。

如果是a），我们在j中的B元素不大于Ai，并且它们都严格较小，并且我们有m <= i个元素A严格小于Ai（m如上）和未知数字，但至少i-m+1个元素等于Ai。因此，两个数组中的确切j + m <= j + i = k-1元素严格地小于Ai，并且至少j + m + (i-m+1) = j+i+1 = k元素不大于Ai，因此是第k个最小元素两个数组一起等于Ai。

在情况b）中，相同的推理表明两个数组的第k个最小元素一起等于Ai。

在剩下的情况下，Ai < Bj-1，事情变得不复杂了。数组B包含至少j个不大于Bj-1的元素，数组A包含至少i+1个元素，严格小于Bj-1，因此两个阵列的第k个最小元素在一起最多与Bj-1一样大。但它不能小于Ai（B最多包含小于j-1的{{1}}元素，因此两个数组最多包含Ai个小于i + (j-1) = k-2的元素{1}}）。

因此，我们仍然可以从数组Ai中删除Ai下方的部分，从数组A中删除Bj-1上方的部分，然后重复进行操作。

所有改变的是，一些严格的不平等必须被弱的不平等所取代。

代码（如果传递索引和长度而不是切片会更有效，但切片会产生更短的代码）：

在排序数组的并集中查找第k个最小元素

2 个答案:

如果有重复项会有什么变化？