Question

这是我关于堆栈交换的第一个问题。我正在研究一个问题，我需要在矩阵中找到非负整数的分布，其中每行和每列总计达到目标总和。我确信有一种算法可以做到这一点（或者一种理论说明何时可行，何时不行）但我没有太多运气在网上找到它。

在附图中（Image）我有一个解决方案的例子，我找到了一个特定的问题实例，但没有涉及可定义的算法。灰色总计是每列和每行的目标总计，而浅蓝色总计是显示的当前分布的总计。在算法的开头只提供了总数，所以我从一个空矩阵开始。

有人可以指点我这个问题的资源/解决方案吗？

谢谢

Answer 1

这看起来像一个难题（可能 np-hard ）。

最好的选择（忽略依赖于域的高度调优算法）是组合优化的经典方法：

Metaheuristics（禁忌搜索，模拟退火＆amp; co。）
- 需要一些调整/邻居定义......
SAT-求解器
- 需要恼人的加法器模拟
- 完成（可以证明，没有解决方案）
约束编程
- 易于制定
- 可以调整
- 的完整

整数编程

易于配制，如下所示

非常好的商业解决方案

的完整我将介绍后者的一个简单版本（这可能是这些中最糟糕的方法;至少对于这个问题！）

它在python中实现并使用开源工具cvxpy（配方）＆amp; cbc（MIP解算器）。

代码

更新：修复一些元素值a-priori！

from cvxpy import * targets_X = [17, 45, 7, 6] targets_Y = [3 for i in range(11)] + [2 for i in range(21)] fixed_elements_indices_x, fixed_elements_indices_y = [0, 1, 2], [0, 1, 2] fixed_elements_values = [3, 3, 3] dim_x, dim_y = len(targets_X), len(targets_Y) # Vars T = Int(dim_x, dim_y) # Constraints constraints = [] constraints.append(T >= 0) constraints.append(sum_entries(T, axis=1) == targets_X) constraints.append(sum_entries(T, axis=0).T == targets_Y) constraints.append(T[fixed_elements_indices_x, fixed_elements_indices_y] == fixed_elements_values) problem = Problem(Minimize(0), constraints) problem.solve(CBC, verbose=True) print(T.value.T)

输出

Clp0006I 0 Obj 0 Primal inf 159 (39) Clp0006I 36 Obj 0 Primal inf 98.999998 (19) Clp0006I 69 Obj 0 Clp0006I 69 Obj 0 Clp0000I Optimal - objective value 0 Cbc0045I No integer variables out of 128 objects (128 integer) have costs Cbc0045I branch on satisfied N create fake objective Y random cost Y Clp0000I Optimal - objective value 0 Node 0 depth 0 unsatisfied 0 sum 0 obj 0 guess 0 branching on -1 Clp0000I Optimal - objective value 0 Cbc0004I Integer solution of 0 found after 0 iterations and 0 nodes (0.00 seconds) Cbc0001I Search completed - best objective 0, took 0 iterations and 0 nodes (0.00 seconds) Cbc0035I Maximum depth 0, 0 variables fixed on reduced cost Clp0000I Optimal - objective value 0 Clp0000I Optimal - objective value 0 [[ 3. 0. 0. 0.] [ 0. 3. 0. 0.] [ 0. 0. 3. 0.] [ 0. 3. 0. 0.] [ 0. 0. 3. 0.] [ 0. 0. 0. 3.] [ 0. 0. 0. 3.] [ 0. 2. 1. 0.] [ 0. 3. 0. 0.] [ 0. 3. 0. 0.] [ 0. 3. 0. 0.] [ 0. 2. 0. 0.] [ 0. 2. 0. 0.] [ 0. 2. 0. 0.] [ 0. 2. 0. 0.] [ 0. 2. 0. 0.] [ 0. 2. 0. 0.] [ 0. 2. 0. 0.] [ 0. 2. 0. 0.] [ 0. 2. 0. 0.] [ 0. 2. 0. 0.] [ 0. 2. 0. 0.] [ 0. 2. 0. 0.] [ 0. 2. 0. 0.] [ 0. 2. 0. 0.] [ 2. 0. 0. 0.] [ 2. 0. 0. 0.] [ 2. 0. 0. 0.] [ 2. 0. 0. 0.] [ 2. 0. 0. 0.] [ 2. 0. 0. 0.] [ 2. 0. 0. 0.]]

Answer 2

您可以使用maximum flow algorithm在多项式时间内解决此问题。

设置源节点，每行的节点，每列的节点和目标节点。

从源节点到行节点的边缘应具有等于给定行总和的容量。

从col节点到dest的边缘应具有与给定列总和相等的容量。

从行节点到col节点的边缘应具有根据矩阵中允许值的容量。（例如，如果矩阵的第x行，第0列的条目必须为零，则将行的容量设置为0，从行节点x到col节点y。）

然后计算从源到目标的最大流量，行节点和列节点之间的流量给出矩阵中的条目。

对于nxn矩阵的解，复杂度为O（n ^ 3）。

矩阵中数字分布的算法

2 个答案:

代码

输出