Question

我即将优化由n（n> = 1，通常n = 4）非负变量定义的问题。这不是一个n维问题，因为所有变量之和需要为1.

最直接的方法是每个x_i扫描整个范围0＆lt; = x_i＆lt; 1，然后将所有值归一化为所有x的总和。然而，这种方法引入了冗余，这对于依赖于解空间的随机采样（遗传算法，禁忌搜索等）的许多优化算法来说是个问题。有没有可以执行此任务的替代算法？

冗余是什么意思？

以二维案例为例。没有约束，这将是一个二维问题，需要优化两个变量。但是，由于X1 + X2 == 0的要求，只需要优化一个变量，因为X2由X1确定，反之亦然。如果有人决定独立扫描X1和X2并将它们归一化为1的总和，那么许多候选解决方案就会对问题产生相同的影响。例如（X1 == 0.1，X2 == 0.1）与（X1 == 0.5，X2 == 0.5）相同。

Answer 1

如果您正在处理实值变量，则使用两个变得相同的样本到达是不太可能的。但是，您确实存在样品不均匀的问题。你更有可能选择（0.5,0.5）而不是（1.0,0）。解决这个问题的方法就是二次抽样。基本上你所做的是，当你在某个点上缩小空间时，你会减少选择它的可能性。

所以基本上你正在做的是映射单位立方体内满足相同方向的所有点，映射到单个点。这些点在同一方向上形成一条线。线越长，选择投影点的概率就越大。因此，您希望通过该行长度的倒数来偏置选择点的概率。

以下是可以执行此操作的代码（假设您正在寻找x_is总计为1）：

while(true) {
      maximum = 0;
      norm = 0;
      sum = 0;
      for (i = 0; i < N; i++) {
         x[i] = random(0,1);
         maximum = max(x[i], max);
         sum += x[i];
         norm += x[i] * x[i];
      }
      norm = sqrt(norm);
      length_of_line = norm/maximum;
      sample_probability = 1/length_of_line;

      if (sum == 0 || random(0,1) > sample_probability) {
        continue;
      } else {
      for (i = 0; i < N; i++) {
         x[i] = x[i] /sum;
      } 
      return x;
    }

Answer 2

以前是provided之前的Amit Prakash函数，转换为python

import numpy as np

def f(N):
    while(True):
        count += 1
        x = np.random.rand(N)
        mxm = np.max(x)
        theSum = np.sum(x)
        nrm = np.sqrt(np.sum(x * x))
        length_of_line = nrm / mxm
        sample_probability = 1 / length_of_line
        if theSum == 0 or rand() > sample_probability:
            continue
        else:
            x = x / theSum
        return x

受约束的n维空间的有效随机抽样

2 个答案: