TSP可以多次访问顶点的位置

Question

我正在寻找一个问题，我有一个加权有向图，我必须从原点开始，至少访问所有顶点一次，然后以尽可能短的路径返回原点。基本上这将是TSP的经典示例，除了我 DO NOT 具有每个顶点只能访问一次的约束。在我的情况下，除了原点之外的任何顶点都可以沿着路径被访问任意次数，如果这使得路径更短。因此，例如在包含顶点V1, V2, V3的图形中，这样的路径是有效的，因为它是最短的路径：

ORIGIN -> V1 -> V2 -> V1 -> V3 -> V1 -> ORIGIN

因此，我有点坚持采用什么方法来解决这个问题，因为通常用于解决指数时间TSP问题的经典动态编程算法方法并不合适。

Answer 1

典型的方法是创建一个距离矩阵，给出任意两个节点之间的最短路径距离。因此d(i,j) =从i到j的最短路径（在网络边缘之后）。这可以使用Dijkstra算法完成。

现在只需解决距离为d(i,j)的经典TSP。你的TSP没有＆＃34;知道＆＃34;所遵循的实际路线可能涉及多次访问节点。同时，它将确保车辆在每个节点停止。

现在，至于效率：正如@Codor指出的那样，TSP是NP难的，你的变体也是如此，所以你不会找到一个可证明最优的多项式时间算法。但是，对于TSP，仍有许多很好的算法（包括启发式算法和精确算法），并且大多数算法都适合您的问题。 （一般来说，DP对于TSP来说是不。）

Answer 2

为了部分回答这个问题，问题中描述的问题不允许多项式时间算法，除非P=NP通过以下参数。显然，提出的问题包括欧几里得的实例。然而，对欧几里得实例的最优解没有重复节点，因为可以通过使用三角不等式删除附加节点来改进这种解决方案。但是，根据TSP上的Wikipedia article，欧几里德TSP仍然是NP - 很难。这意味着问题中任何问题的多项式时间算法都能够将欧几里德TSP解决为多项式时间的最优性，除非P=NP，否则这是不可能的。