自下而上方法（DP）中斐波纳契数列的时间复杂度

Question

自下而上算法

a[0]=0,a[1]=1
integer fibo(n)
   if a[n]== null
       a[n] = fibo(n-1) + fibo(n-2)
   return a[n]

此算法的时间限制为O（N）

对于5，它会调用8次。 pass of fibnacci series in Bottom Up approach

fibo（5）调用8次从上到下，并调用8次从底部返回顶部。总呼叫是8 + 8 = 16我的观点。那么时间复杂度如何O（N）对我来说还不清楚。

我在这里找到了很多类似的问题，但所有这些问题都与我的问题无关 利益。 其中一些是：

Time Complexity of Fibonacci Series

Time Complexity of Fibonacci Algorithm

任何帮助都将不胜感激。谢谢

Answer 1

在回答有关时间复杂性的问题之前，有几件事要提及。原因是时间复杂性至少部分取决于这些答案。

首先，你的程序中似乎有一个错误，因为你有一个数组＆＃39; a＆＃39;对于基本条件（Fibbinacci数字0和1）和一些数组＆＃39; m＆＃39;这是在fibo函数中设置的，但从未再次使用过。更重要的是，当你达到n = 1或n = 0时，你返回m [n]的值，这是完全未知的。所以，我将假设算法被重写如下：

a[0]=0,a[1]=1
integer fibo(n)
   if a[n]== null
       a[n] = fibo(n-1) + fibo(n-2)
   return a[n]

好的，第二个问题。让我们假设a总是被定义为至少n + 1个整数。需要有足够的空间容纳传入的数据。这很重要，因为c ++会让你覆盖n + 1 ^th 索引的值。它出了界限和错误，但是c ++并没有提供那种保护。作为程序员，您需要验证这样的边界条件。 （我假设使用c ++，因为这是用c ++标记的。代码看起来更像是python，它的环绕索引本身就有问题。）

第三，我们假设您没有开始使用新阵列＆＃39; a＆＃39;对于算法的每次运行。这很重要，因为如果存储已经计算的值，那么您将不必重新评估这些值，从而节省计算时间。即使它不会影响我计算时间复杂度的方式，节省时间也是一件好事。

大。让我们开始讨论您的问题。让我们使用下面的图片来回答它。当您在n处启动算法时，您将对fibo（n-1）和fibo（n-2）进行两次递归调用，但它们不会同时发生。相反，第一次调用fibo（n-1）发生，并且必须在第二次调用fibo（n-2）之前100％完成。该调用由n ^th 线上的n-1到n-1 ^th 线的绿线表示。

现在，这些绿线适用于每行的递归，直到你到达fibo（1）调用。该调用会提前终止，因为[n]不为空。最后执行第二次对fibo（0）的调用，它也会提前终止，因为[n]不为空。好的，第一组递归调用非常多。

当每个递归调用返回时，进行第二次调用（由橙色虚线表示），但是[n]不再为null，因此调用会提前终止，并且调用将返回到下一层。

所以，让我们计算通话次数。从n到1是n-1个递归调用。最后还有一个对fibo（0）的额外调用，因此这是n个递归调用。然后在前进的路上有n-2个额外的呼叫，提前终止。所以，我们总共有2n-2个调用，即O（n）。

当然，如果你调用fibo（k）然后调用fibo（k + x），你只需要进行前2次调用，因为从fibo（k）向下的所有内容都是已知的。在初始投资之后，这是相当可观的节省。有问题吗？

关于O（2n）= O（n），这是一个很好的跟进。 Big-O复杂性规则表明，当您比较效率时，我们对数量级感兴趣。所以，假设你在看n = 1000。 O（n）= 1000，O（2n）= 2000，但O（n ² ）= 1,000,000。 O（n）或多或少与O（2n）相同，但如果将它们与O（n ² ）进行比较，则这是一个巨大的差异。同样，如果你有O（n + 1）= 1001与O（n）有很大的不同。所以，一般来说，我们说主导词，等式中最重要的值是重要的。我们对额外的条款并不感兴趣。我们对特定系数并不感兴趣，因为它们并不会真正影响结果。

如果您仍有疑问，请访问此网站以获取更多信息。 https://justin.abrah.ms/computer-science/big-o-notation-explained.html