Question

如果有n未排序的权重，我需要找到最少数量的权重才能获得至少权重W。如何在O(n)中找到它们？

Answer 1

此问题有许多解决方法：

方法1 - 排序 - O（nlogn）
我想最简单的一个是按降序排序，然后取第一个K元素，它们总和至少为W.时间复杂度虽然是O(nlogn)。

方法2 - 最大堆 - O（n + klogn）
另一种方法是使用最大堆。创建堆将采用O(n)然后提取元素，直到我们达到至少为W的总和。每次提取将花费O(logn)，因此总时间复杂度为O(klogn)其中k 1}}是我们必须从堆中提取的元素数。

方法3 - 使用Min Heap - O（nlogk）
添加JimMischel在以下评论中建议的此方法创建一个最小堆，其中列表中的第一个k元素总和至少为W。然后，迭代剩余的元素，如果它大于它们之间的最小值（堆顶部）替换在这一点上，我们可能需要更多的元素来实现W，所以我们只需要提取最小值，直到达到极限。在实践中，取决于

之间的关系

find_min_set(A,W)
    currentW = 0
    heap H //Create empty heap

    for each Elem in A
        if (currentW < W)
            H.add(Elem)
            currentW += Elem
        else if (Elem > H.top())
            currentW += (Elem-H.top())
            H.pop()
            H.add(Elem)

    while (currentW-H.top() > W)
        currentW -= H.top()
        H.pop()

此方法在实践中可能更快，具体取决于k和n之间的关系。请参阅when theory meets practice。

方法4 - O（n）
我能想到的最好的方法是使用某种quickselect，同时跟踪总重量，并始终将中位数作为支点进行划分。

首先，让我们定义一些事情：

sum(A) - 数组A中所有元素的总和。
num(A) - 数组A中的元素数量 med(A) - 数组A的中位数。

find_min_set(A,W,T)
    //partition A
    //L contains all the elements of A that are less than med(A)
    //R contains all the elements of A that are greater or equal to med(A)
    L, R = partition(A,med(A))
    if (sum(R)==W)
        return T+num(R)
    if (sum(R) > W)
        return find_min_set(R,W,T)
    if (sum(R) < W)
        return find_min_set(L,W-sum(R),num(R)+T)

通过find_min_set(A,W,0)调用此方法。

运行时复杂性：

查找中位数为O(n)。
分区为O(n)。
每次递归调用占用数组的一半大小。
总结一下，我们得到一个关注关系：T(n) = T(n/2) + O(n)，与quickselect = O(n)的平均情况相同。

注意：当所有值都是唯一的时，最坏情况和平均复杂度确实都是O(n)。对于可能的重复值，平均复杂度仍为O(n)，但最糟糕的情况是O(nlogn)，使用Median of medians方法选择数据透视。

如何选择最少数量的权重以获得O（n）时间内的总权重

1 个答案: