如何在图中找到所有等效顶点？

Question

等效顶点是那些具有相同＆＃39; ingoing＆＃39;和＆＃39;外向＆＃39;顶点。

有人可以帮我解决算法问题吗？

我在想这样的事情：在同一时间搜索两个顶点，如果我找到相同的输入和输出顶点来打印它们......等等，所以它将是实际的暴力，但如何使用递归这样做呢？ 什么是最好的解决方案？

Answer 1

一种方法是向每个顶点添加列表，一个用于输入顶点List ingoingVertices，另一个用于输出顶点List outgoingVertices。然后遍历每个顶点的边，将访问顶点添加到第一个顶点内的List outgoingVertices，每次从第一个顶点取出边时，将第一个顶点添加到访问顶点的List ingoingEdges 。然后迭代遍历顶点，检查两个顶点之间的列表是否相同，以找到它们的等价。

递归访问每个顶点然后执行该顶点与迭代每个顶点大致相同。强制一次仅比较两个顶点将会起作用，但在运行期间需要花费更多精力进行编码和更多时间。

Answer 2

这是我提出的递归解决方案。

想象一下，除了两个顶点之外我们都删除了所有顶点（不管两个顶点是什么）。

在您的示例中，假设我们删除了除 a 和 b 之外的所有顶点。请注意， a 和 b 是等效的，当且仅当有 a 到 b 的边缘时，是 b 到 a 的优势。这是我们的基本情况。

想象一下，我们逐个添加缺失的顶点（顺序并不重要）。我们需要考虑两种情况。 i）我们需要在添加顶点时检查是否有任何顶点集合等效。 ii）我们需要检查是否有任何相同的顶点集仍然是等价的。

案例1。

在您的示例中，假设我们添加了 c ，（回想一下，我们已经开始使用顶点 a 和 b ）。我们肯定知道 a 和 b 不相同。为什么？因为 a 的传出顶点缺少 b ，而传出的顶点不是 c ，因为 c 之前没有在图表上。因此，我们只需要检查是否有任何等同于 c 的顶点。我们可以通过检查 c 的输出顶点的顶点和 c 的输入顶点的输出顶点来有效地执行此操作。然后，我们发现 a 和 c 是等效的。

注意：我使用 = 符号来表示帖子其余部分中顶点的等效性。

更一般地说，每当我们向图形添加一个新顶点（让我们说 z ）时，我们知道不存在一对顶点的事实， （让我们说 x 和 y ），在添加 z 之前 x！= y 我们添加 z 后， x = y 。这是因为：

假设 x 有一个传出或进入顶点 w ， y 没有失去一般性。我们知道 w！= z 因为我们还没有添加 z 。然后，在我们添加 z 之后， y 仍然会遗漏顶点 w 。因此，在我们添加顶点 z 之后， x！= y 。所以我们只需要检查是否有任何顶点等同于 z 。

案例2

这种情况要简单得多。在您的示例中，假设我们最后添加 d ，（回想一下我们添加了顶点 a ， b 和 c 更早）。我们计算出 a 和 c 是等价的，我们需要在添加 d 后检查它们是否仍然等效。请注意，我们需要做的就是检查 a 和 c 是否 d 作为传出或进入顶点。并比较它们。

因此，总之，我们从两个任意顶点开始，并检查它们是否相等。之后，我们逐个添加每个顶点，然后检查 case 1 和 case 2 ，如上所述。

所以，让我们假设你有一个递归函数 EQ（n），它返回所有等价的顶点。然后，给定一个带有 n 顶点的图形，你可以调用 EQ（n-1），即丢失一个顶点（让我们说 z ）。然后检查案例1 和案例2 ，了解 z 如何影响整体解决方案。在你的基本情况下，你有 n = 2 ，正如我在开头提到的那样。

因此，该算法的运行时间为 T（2）= O（1）和 T（n）= T（n - 1）+ O（n） ）即可。因此，运行时间 O（n ^ 2）。