DAG

Question

在新加坡，今年（2016年）NOI（国家信息学奥林匹克运动会）包括以下问题“ROCKCLIMBING”（我在比赛期间无法解决这个问题。）：

含糊不清的问题陈述

给定具有N <= 500个顶点的DAG，找到原始顶点子集中的最大顶点数，使得从该集合中的1个顶点到同一个集合中的另一个顶点没有路径， 直接或间接。

解决方案

解决方案是使用传递闭包算法，然后通过复制每个顶点i以形成i'来形成二分图，这样如果可以从顶点{到达顶点j {在原始图表中{1}} 直接或间接，然后在新图表中有i到i的有向边。

然而，在解决方案演示期间，演示者没有解释新的二分图的j' （MCBM是最大基数二分匹配）的方式或原因也是最大的在原始DAG中无法直接或间接直接或间接的顶点集。

我查找了与DAG和二分图相关的其他问题，例如DAG上的最小路径覆盖问题，但我找不到任何可以解释这一点的问题。

有谁知道如何证明这种平等？

问题陈述可以在这里找到：ROCKCLIMBING

提前谢谢。

Answer 1

这里有两件事：

1. 当且仅当其补码是顶点覆盖时，该集是独立的（参见wikipedia）。这意味着最大独立集的大小等于最小顶点覆盖的大小。

2. Konig's theorem证明

  

在任何二分图中，最大匹配中的边数等于最小顶点覆盖中的顶点数。

因此，为了找到最大独立集的大小，我们首先计算最大匹配的大小MCBM，然后计算其补码等于N-MCBM。

Answer 2

另一种观点如下：

1. 如果我们使用A<B来表示我们可以从A爬到B，我们已经定义了partially ordered set

2. 有一个名为Dilworth定理的结果表明无法比较的元素的最大数量等于链的最小数量

proof显示如何通过在二分图中构建最大匹配来构造最小数量的链。