Mathematica：以极坐标形式显示复数

Question

我想以三角形显示复数。例如：

z = (-4)^(1/4);

我不确定那个命令是什么，写起来很傻：

我想，命令是ExpToTrig，但解决方案可能不仅仅是1+i（或者它可以，我在滥用它？）。如何以trig形式显示复数。

编辑：

命令是ExpToTrig，它只是不提供所有解决方案（或者我没有找到方法）。最后通过编写纯函数NrootZpolar[n][z]解决了我的问题：

NrootZpolar := 
 Function[x, 
  Function[y, 
       ( Abs[y] ^ (1/x) *
       ( Cos[((Arg[y] + 360° * Range[0, x - 1]) / x)] + 
       I*Sin[((Arg[y] + 360° * Range[0, x - 1]) / x)]))
  ]
 ]

并使用：

In[689]:= FullSimplify[NrootZpolar1[4][-4]]
Out[689]= {1 + I, -1 + I, -1 - I, 1 - I}

要想象：

ComplexListPlot[list_] := ListPlot[Transpose[{Re[list], Im[list]}], AxesLabel -> {Re, Im}, PlotLabel -> list, PlotMarkers -> Automatic]
Manipulate[ComplexListPlot[FullSimplify[NrootZpolar1[n][z]]], {z, -10, 10}, {n, 1, 20}]

Answer 1

你可以用极坐标r（cos theta + i sin theta）表示复数z，其中r = Abs [z]，theta = Arg [z]。因此，您需要的唯一Mathematica命令是Abs []和Arg []。

Answer 2

如果您只是偶尔需要这样做，那么您可以定义一个像

这样的函数

In[1]:= ComplexToPolar[z_] /; z \[Element] Complexes := Abs[z] Exp[I Arg[z]]

这样

In[2]:= z = (-4)^(1/4);
In[3]:= ComplexToPolar[z]
Out[3]= Sqrt[2] E^((I \[Pi])/4)

In[4]:= ComplexToPolar[z] == z // FullSimplify
Out[4]= True

要扩展功能（不是这是你问题的一部分），你可以使用

In[5]:= ComplexExpand[, TargetFunctions -> {Abs, Arg}]

最后，如果你总是想要以极性形式写的复数，那就像

In[6]:= Unprotect[Complex];
In[7]:= Complex /: MakeBoxes[Complex[a_, b_], StandardForm] := 
 With[{abs = Abs[Complex[a, b]], arg = Arg[Complex[a, b]]}, 
  RowBox[{MakeBoxes[abs, StandardForm], 
    SuperscriptBox["\[ExponentialE]", 
      RowBox[{"\[ImaginaryI]", MakeBoxes[arg, StandardForm]}]]}]]

会自动进行转化

In[8]:= 1 + I
Out[8]= Sqrt[2]*E^(I*(Pi/4))

请注意，这仅适用于明确复杂的数字 - 即具有FullForm Complex[a,b]的数字。它将在上面定义的z上失败，除非您使用Simpify之类的内容。

Answer 3

从数学上讲，（-1）^（1/4）是对符号的滥用。没有这样的数字。

你用憎恶（:)表达的是一个等式的根源：

z^4 == 1  

在Mathematica中（如在数学中一般）使用弧度比使用弧度更方便。以弧度表示，您可以定义例如

 f[z1_,n_] := Abs[z] (Cos[Arg[z]] + I Sin[Arg[z]]) /.Solve[z^n+z1 == 0, z,Complex]

或

g[z1_,n_] := Abs[z] (Exp [I Arg[z]]) /.Solve[z^n+z1 == 0, z,Complex]  

取决于您的符号偏好（三角形或指数...但最后一个是首选）。

为(-4)^(1/5)获取所需的表达式，只需输入

即可

g[4,5] or f[4,5]