Question

考虑多项式，例如：

p = [1 -9 27 -27];

显然真正的根是3：

polyval(p,3)

0

使用roots功能时

q = roots([1 -9 27 -27]);

format short：

q =

   3.0000 + 0.0000i
   3.0000 + 0.0000i
   3.0000 - 0.0000i

并检查根是否真实：

bsxfun(@eq,ones(size(q)),isreal(q))

0
0
0

更糟糕的是format long我得到了：

roots([1 -9 27 -27])

ans =

  3.000019414068325 + 0.000000000000000i
  2.999990292965843 + 0.000016813349886i
  2.999990292965843 - 0.000016813349886i

如何正确计算多项式的根？

Answer 1

您可能需要象征性地工作。你需要符号数学工具箱。

将多项式定义为符号函数。您可以（a）使用poly2sym从其系数生成符号多项式。或者（b）更好的是，使用字符串直接定义符号函数。这样就可以避免因将系数表示为double而导致精度下降。
使用solve，它象征性地解决了代数方程式。

带选项（a）的代码：

p = [1 -9 27 -27];
ps = poly2sym(p);
rs = solve(ps);

带选项（b）的代码：

ps = sym('x^3-9*x^2+27*x-27');
rs = solve(ps);

在任何一种情况下，结果都是符号：

>> rs
rs =
 3
 3
 3

您可能希望使用

r = double(rs);

在你的例子中，这给出了

>> format long
>> r
r =
     3
     3
     3

Answer 2

这是由于浮点不准确造成的。有关详细信息，请查看此帖子： Is floating point math broken?

你可以做的一件事是将答案/舍入到一些小数位，如下所示：

q = round(roots([1 -9 27 -27]), 4) % rounding off to 4 decimal places

Answer 3

这非常特定于多项式。通常，您必须期望多重m的根具有相对浮点误差大小mu^(1/m)，其中mu=1e-15是机器精度。在这种情况下，多重性为m=3，因此误差范围为10^(-5)。这正是结果中错误的大小。

这里发生的清晰整数系数是matlab使用的方法的结果，它计算伴随矩阵的特征值，特征值算法将整数矩阵转换为适当的浮点矩阵，其中有相应的舍入误差。算法的第一步。

其他算法对多重性和近似根的相关聚类进行经验测试，因此能够纠正此错误。在这种情况下，您可以通过将每个根替换为3个根的平均值来实现此目的。

在数学上，你有一些多项式

p(x)=(x-a)^m*q(x)

根目录x=a的多重性m。由于浮点运算，求解器有效地“看到”多项式

p(x)+e(x)

其中e(x)的系数的大小是p次mu系数的大小。靠近根a，这个被扰动的多项式可以有效地替换为

(x-a)^m*q(a)+e(a) = 0  <==>  (x-a)^m = -e(a)/q(a)

以便解决方案形成一个以a为中心的m形正多边形或星形，半径为|e(a)/q(a)|^(1/m)，该区域应位于|a|*mu^(1/m)区域内。

如何正确找到多项式根？

3 个答案: