今天我的算法测验中的图论问题我想帮助理解

Question

今天我在这个学期进行了算法测验，我无法弄清楚这两个问题，他们整天都在困扰着我。我已经阅读了笔记和讲义，但我还是不确定。如果有人可以看看并提供一些有关这些问题的见解，我将不胜感激。这些不是作业，我已经参加了测验。

真或假的问题

1）[Paraphrased]具有n个顶点的二分图中的最大边数为n（n-1）/ 2.

我认为这是假的，我的逻辑是n个verticies意味着我们有两个n / 2行。第一个节点与第二行有n / 2个连接，第二个节点与第二行有n / 2个连接......等等......

因此，我计算了具有n个顶点的二分图中的最大边数（n ^ 2/4）。

2）[转述]是否有可能进行切割，这不一定是定向流图（Ford-Fulkerson算法）中的最小s-t切割，使得流量大于s-t切割能力？

我说错了，但我不明白这个问题......是否有可能采取s-t切割以使流量更大？我知道弱对偶定理和'最大流量=最小切割'所以我放下了假，但我不知道。

简答题：

1）解释测试图表连接天气的有效方法。

我建议进行广度优先搜索，如果图中的BFS算法找不到节点，则表示没有连接。我记下运行时间是O（m + n），因此它是一种有效的算法。它值得两分，这是最后一个问题，但我现在担心这是一个棘手的问题。

2）在图表中：

列出展示最小顶点覆盖的顶点集[释义]

我的答案是{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{C，E}，但现在我担心它只是{A}，{ B}，{C}，{D}，{E} ......

感谢您花时间阅读！ ：）

Answer 1

我现在只有第一张图的答案，但你是对的。

在二分图中，必须有两组节点 - 比如第一组中的x和第二组中的（n - x）。

此图中的最大边数将为x（n-x）或nx - x ^ 2.

nx-x ^ 2的最大值是x =（n / 2）

所以图中的最大边数是（n / 2）*（n - （n / 2））=（n ^ 2）/ 4，正如你所指出的那样。

Answer 2

图表连接：

你使用BFS是正确的。在BFS的一次迭代之后，如果访问了所有节点，那么我们可以得出结论图是连接的。

或者，也可以使用DFS完成此操作。方法保持不变。

Answer 3

1）已经回答，我同意你是对的。

2）：这个问题似乎含糊不清。

such that the flow capacity is greater than the s-t cut capacity

流量是什么？整个网络？或削减？

如果是后者，似乎可以问A＆gt; A，这显然是假的。 如果是前者，那么很明显答案是错误的。如果有可能找到这样的切割，则max-flow = min-cut将不成立：网络的最大流量将大于s-t切割的最小容量。

然而， 可以进行切割，使得切割的流量大于网络的最小切割容量。example at the top of this article中，如果在s和网络的其余部分之间切换，则切割容量大于网络的最小s-t切割容量。

但即使这种解释似乎也不太可能，因为它非常微不足道......“最小”的含义是可能有更大的价值。

也许有必要看到确切的原始措辞。

简短回答：

1）已被回答，虽然我不明白m是什么（在O（m + n）中），除非你在讨论二分图？

2）我同意@glebm说你弄错了...抱歉。 “Vertex cover图形是一组顶点”，但你似乎写了一个边列表？后面跟着一组单例顶点？

  图表的

Vertex cover是一组   顶点的每个边缘   图表至少有一个事件   集合的顶点。

由于这是一个完整的图形，因此所有顶点都是可互换的。所以我们并不关心哪个顶点，而只是我们需要多少个顶点才能触及所有边缘。答案不难发现。如果我们选择任意三个顶点，则连接其他两个顶点的边缘不会被“覆盖”。 QED。

事实上，我们可以证明，对于n个顶点的任何完整图形，最小顶点覆盖需要n-1个顶点。