Question

在具有V顶点和E边的无向图中，您如何计算O（| V || E |）中的三角形数？我看到算法here，但我不确定如何实现这种复杂性。这是该帖子中提供的代码：

for each edge (u, v):
  for each vertex w:
     if (v, w) is an edge and (w, u) is an edge:
          return true
return false

您是否会使用图的邻接列表表示来遍历外部循环中的所有边，然后使用邻接矩阵来检查内部循环中是否存在2条边？

另外，我看到另一个解决方案呈现为O（| V || E |），它涉及在图形上执行深度优先搜索，当你遇到来自顶点的后备（u，v）时，你就是访问检查顶点u的祖父是否是顶点v。如果是，那么你找到了一个三角形。这个算法是否正确？如果是这样，这不是O（| V | + | E |）吗？在我链接到的帖子中，提供了广度优先搜索解决方案的反例，但基于我提出的示例，似乎我在上面概述的深度优先搜索方法有效。

Answer 1

首先，请注意，算法并没有计算三角形的数量，而是返回是否存在三角形。

对于第一种算法，如果我们假设我们可以在恒定时间内查找（a，b）是边，则分析变得简单。（因为我们遍历所有边的所有顶点，并且只做一些具有恒定时间的东西，我们得到O（| V || E | * 1）。）在使用时可以使用for来判断某些东西是否是一个恒定时间的集合的成员例如hashtable/set。正如你所说，我们也可以通过使用邻接矩阵来实现这一点，我们可以通过循环遍历所有边缘来创建，而不是改变我们的总复杂度。

也许可以使用用于循环边缘的邻接列表表示，但是遍历它可以是O（| V | + | E |），给出总复杂度O（| V || V | + | V | | E |）这可能比我们想要的更多。如果是这种情况，我们应该首先循环，然后将所有边添加到普通集合（如列表）。

对于您提出的DFS算法，问题是我们无法确定在正确的时刻遇到某个边缘作为后备，如下面的反例所示：

A -- B --- C -- D
      \   /     |
        E ----- F

如果我们从A-B-C-E看，然后找到后备的E-B，我们就能正确找到三角形;但如果我们改为A-B-C-D-F-E，那么后备E-B和E-C就不再满足我们的条件。

Answer 2

这是一种幼稚的方法来计算周期数。我们需要以邻接矩阵的形式输入。

public int countTricycles(int [][] adj){
        int n = adj.length;
        int count = 0; 
        for(int i = 0; i < n ;i++){
            for(int j = 0; j < n; j++){
                if(adj[i][j] != 0){
                    for(int k = 0; k < n; k++){
                        if(k!=i && adj[j][k] != 0 && adj[i][k] != 0 ){
                             count++;    
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return count/6;
    }

复杂度为O（n ^ 3）。

在图

2 个答案: