Question

让G=(V,E)成为无向图。我们如何使用以下DFS计算长度为3的循环：

DFS(G,s):
    foreach v in V do
        color[v] <- white; p[v] <- nil
    DFS-Visit(s)

DFS-Visit(u)
    color[u] <- grey
    foreach v in Adj[u] do
        if color[v] = white then 
            p[v] = u; DFS-Visit(v)
    color[u] <- black

每当我们发现已经发现的节点（灰色）时，就会有一个循环。该节点的边缘称为后边缘。 p[p[p[v]]] = v时，周期长度为3，对吧？所以

DFS-Visit(u)
    color[u] <- grey
    foreach v in Adj[u] do
        if color[v] = grey and p[p[p[v]]] = v then
            // we got a cycle of length 3
        else if color[v] = white then 
            p[v] = u; DFS-Visit(v)
    color[u] <- black

但是，我如何创建一个合适的计数器来计算周期数，以及如何只计算每个周期一次？

Answer 1

我不确定您的情况parent[parent[parent[v]]] == v是如何运作的。只要parent表示树的结构（因为它应该对应于与DFS相关联的生成树），它就永远不应该是真的。

定向图

后边缘，交叉边缘和前边缘都可以发现＆＃34;新的周期。例如：

我们将以下可能性分开（让我们说你达到u -> v边缘）：

后边缘：u和v属于同一个3周期iff parent[parent[u]] = v。
交叉边缘：u和v属于同一个3周期iff parent[u] = parent[v]。
前沿：u和v属于同一个3周期iff parent[parent[v]] = u。

无向图

没有更多的交叉边缘。后边缘和前边缘是多余的。因此，您只需检查边缘：当您到达u -> v后边缘时，u和v属于同一个3周期iff parent[parent[u]] = v。

def dfs(u):
    color[u] = GREY
    for v in adj[u]:
        # Back edge
        if color[v] == GREY:
            if parent[parent[u]] == v: 
                print("({}, {}, {})".format(v + 1, parent[u] + 1, u + 1))
        # v unseen
        elif color[v] == WHITE:
            parent[v] = u
            dfs(v)
    color[u] = BLACK

如果你想测试它：

WHITE, GREY, BLACK = 0, 1, 2
nb_nodes, nb_edges = map(int, input().split())
adj = [[] for _ in range(nb_nodes)]
for _ in range(nb_edges):
    u, v = map(int, input().split())
    adj[u - 1].append(v - 1) 
    adj[v - 1].append(u - 1) 
parent = [None] * nb_nodes
color = [WHITE] * nb_nodes

Answer 2

如果没有使用DFS的解决方案没问题，可以使用O（NMlog（N³））运行一个简单的解决方案，其中N是图中顶点的数量，M是边数。

我们将迭代边缘而不是迭代顶点。对于每个边u-v，我们必须找到连接到u和v的每个顶点。我们可以通过迭代图中的每个顶点w并检查是否存在边v-w和w-u来做到这一点。每当你找到这样的顶点时，命令u，v，w并将有序三元组添加到不允许重复的BBST（例如：在C ++中使用std :: set）。在检查图中的每个边之后，长度为3个周期的计数将与BBST的大小（添加的元素数量）完全相同。

让我们分析算法的复杂性：

我们迭代每一条边。目前的复杂性是O（M）
对于每个边，我们迭代每个顶点。当前的复杂性是O（NM）
对于形成循环的每个（边，顶点）对，我们将向BBST添加三元组。添加到BBST具有O（log（K））复杂度，其中K是BST的大小。在最坏的情况下，顶点的每个三元组形成一个循环，因此我们可以向BST添加O（N³）元素，并且添加一些元素的复杂性可以高达O（log（N³））。最终的复杂性是O（NMlog（N³））。这可能听起来很多，但在最坏的情况下M = O（N²），因此复杂度将为O（N³log（N³））。由于我们可能有长达3的O（N³）个周期，因此我们的算法只是远离最优算法的对数因子。

使用DFS计算长度为3的循环

2 个答案:

定向图

无向图