分解旋转矩阵（x，y'，z''） - 笛卡尔角

Question

分解旋转矩阵（x，y'，z''） - 笛卡尔角

我目前正在使用旋转矩阵，我遇到以下问题： 给定三个坐标系（O0,x0,y0,z0; O1,x1,y1,z1; O2,x2,y2,z2）重合。我们首先相对于帧＃0旋转帧＃1，然后相对于帧＃1旋转帧＃2。

轮换顺序：R = Rx_alpha * Ry_beta * Rz_gamma，首先关于 x ，然后 y' ，然后 z'' ，也称为笛卡尔角度。 如果R1代表第一轮，R2代表第二轮的R2，我们在两个旋转后寻找第二帧相对于初始帧（＃0）的角度。这可以通过分解旋转矩阵 R（其中：R = R1*R2）来完成。有许多文献可供参考，如何通过欧拉和RPY角度来完成，但我没有找到任何，如何在笛卡尔角的情况下解决这个问题。

我有一个 matlab函数，只能通过简单的旋转。如果所有角度的值都不是0（例如下面的例子），那么结果就会变得非常不稳定。

第一帧相对于帧＃0的方向：

    alpha1 = 30*pi/180;
    beta1 = 10*pi/180;
    gamma1 = 0*pi/180;

第2帧相对于帧＃1的方向

    alpha2 = 10*pi/180;
    beta2 = 10*pi/180;
    gamma2 = 0*pi/180;

我用来解决问题的matlab函数：

function [q] = cartesian_angles(R)

beta = asin(R(1,3));

*% Catching the numerical singularty*
if abs(abs(beta)-pi/2) > eps;
    *% singulartiy of acos*
    gamma1 = acos(R(1,1) / cos(beta));
    gamma2 = asin(-R(1,2) / cos(beta));
    if gamma2<0
        gamma=2*pi-gamma1;
    else
        gamma=gamma1;
    end
    alpha1 = acos(R(3,3) / cos(beta));
    alpha2 = asin(-R(2,3) / cos(beta));
    if alpha2<0
        alpha = 2*pi-alpha1;
    else
        alpha = alpha1;
    end
else
    fprintf('beta=pi/2 \n')
    gamma = 0;
    alpha = 0;
    beta  = 0;
end;

alpha = alpha*180/pi;
beta = beta*180/pi;
gamma = gamma*180/pi;

q = [alpha; beta; gamma];

感谢您的帮助！如果您有一些问题，请不要犹豫！

马尔西

Answer 1

首先，我假设你正在将一个条件良好的右手旋转矩阵传递给你的函数。我将使用与上面列出的相同的旋转顺序，X Y'Z''

如果你知道旋转矩阵的符号结构，你试图从中提取角度，那么数学就很简单了。下面是一个matlab代码示例，用于确定X-Y'-Z''的旋转矩阵的构造

a = sym('a');%x
b = sym('b');%y
g = sym('g');%z

Rx = [1 0 0;0 cos(a) -sin(a);0 sin(a) cos(a)];
Ry = [cos(b) 0 sin(b);0 1 0;-sin(b) 0 cos(b)];
Rz = [cos(g) -sin(g) 0;sin(g) cos(g) 0;0 0 1];

R = Rz*Ry*Rx

输出如下：

R =

[ cos(b)*cos(g), cos(g)*sin(a)*sin(b) - cos(a)*sin(g), sin(a)*sin(g) + cos(a)*cos(g)*sin(b)]
[ cos(b)*sin(g), cos(a)*cos(g) + sin(a)*sin(b)*sin(g), cos(a)*sin(b)*sin(g) - cos(g)*sin(a)]
[       -sin(b),                        cos(b)*sin(a),                        cos(a)*cos(b)]

以更好看的格式得到的结果相同：

现在让我们回顾一下从这个矩阵中提取角度。现在是熟悉atan2（）函数的好时机。

首先求解β角（顺便说一句，alpha是围绕X轴的旋转，β是围绕Y'轴的旋转，而gamma是围绕Z'轴的角度）：

beta = atan2(-1*R(3,1),sqrt(R(1,1)^2+R(2,1)^2))

写得更正式，

现在我们已经解决了β角度，我们可以更简单地解决其他两个角度：

alpha = atan2(R(3,2)/cos(beta),R(3,3)/cos(beta))
gamma = atan2(R(2,1)/cos(beta),R(1,1)/cos(beta))

简化并以更好的格式

上述方法是一种非常强大的方法，可以将Euler角度从旋转矩阵中取出。 atan2功能确实使它更简单。

最后，我将回答一系列旋转后如何求解旋转角度。首先考虑以下符号。矢量或旋转矩阵将以下列方式标记：

这里“U”代表通用框架或全局坐标系。 “Fn”表示与U不同的第n个局部坐标系.R表示旋转矩阵（该表示法也可用于均匀变换）。左侧上标将始终表示旋转矩阵或向量的父参考框架。左侧下标表示子参考框架。例如，如果我在F1中有一个向量，并且我想知道它在通用参考框架中的等效性，那么我将执行以下操作：

为了在通用框架中解析向量，我简单地将它乘以将事物从F1转换为U的旋转矩阵。注意下标中下一项的上标如何“取消”下标。这是一个聪明的符号，可以帮助别人搞清楚事情。如果你还记得，条件良好的旋转矩阵的一个特殊性质是逆矩阵是矩阵的转置，这也是这样的逆变换：

现在说明符号细节已经不在了，我们可以开始考虑解决复杂的旋转系列。假设我有“n”个坐标系（另一种说法是“n”不同的旋转）。为了找出通用框架中“第n”帧中的向量，我将执行以下操作：

要确定由“n”旋转产生的Cardan / Euler角度，您已经知道如何分解矩阵以获得正确的角度（在某些字段中也称为反向运动），您只需要正确的矩阵。在这个例子中，我对旋转矩阵感兴趣，旋转矩阵将事物放在“第n”坐标系中并将它们解析为通用框架U：

有它，我只是通过乘以正确的顺序将所有旋转组合成感兴趣的旋转。这个例子很简单。当有人想要在另一个框架中找到一个刚体的参考框架时，会出现更复杂的情况，这两个刚体的共同点就是它们在通用框架中的测量。

我还要注意，这种表示法和方法也可以用于同构变换，但有一些关键的区别。旋转矩阵的逆是它的转置，对于均匀变换不是这样。

Answer 2

感谢您回答willpower2727，您的回答非常有帮助！

但我想提一下，你所展示的代码对于分解旋转矩阵很有用，它们是按照以下方式构建的：

R = Rz*Ry*Rx

我在寻找：

R = Rx*Ry*Rz

这导致以下旋转矩阵：

但是，这不是问题，因为按照计算角度alpha，beta和gamma的方法，很容易修改代码，因此它会分解上面显示的矩阵。

角度：

beta = atan2(  R(1,3), sqrt(R(1,1)^2+(-R(1,2))^2) )
alpha = atan2( -(R(2,3)/cos(beta)),R(3,3)/cos(beta) )
gamma = atan2( -(R(1,2)/cos(beta)),R(1,1)/cos(beta) )

但有一点仍然不清楚。该方法非常有用，只有在我计算一次旋转后的角度时才会使用。由于有更多的旋转相互连接，结果是错误的。但是，考虑到以下方法，它仍然是可以解决的：假设我们有两个旋转相互连接（R1和R2）。 q1表示R2的R1，q2的角度。分解单个矩阵后。矩阵R=R1*R2的总旋转角度可以通过总结之前的范围来轻松计算：q=q1+q2

有没有办法，怎么计算总旋转角度，不是通过求和偏角，而是分解矩阵R=R1*R2？

更新：

考虑以下基本示例。旋转相互关联：

a1 = 10*pi/180
b1 = 20*pi/180
g1 = 40*pi/180
R1 = Rx_a1*Ry_b1_Rz_g1

a2 = 20*pi/180
b2 = 30*pi/180
g2 = 30*pi/180
R2 = Rx_a2*Ry_b2*Rz_g2

分解各个矩阵R1和R2会产生权利角度。问题发生时，当我将旋转链接到彼此之后，我试图确定惯性框架中最后一帧的角度。从理论上讲，这可以通过分解变换链的所有旋转矩阵的乘积来完成。

R = R1*R2

分解此矩阵会产生以下度数显示的以下错误结果：

a = 0.5645
b = 54.8024
g = 61.4240

马尔西