Question

我有以下公式：A =（x + x0）^。5 *（y + y0）*（z + z0）^。5

x0，y0和z0对于给定的运行是常量，但可能在程序的运行之间发生变化。 x，y和z是为项目随机生成的，并且是[0,15]中的统一整数。这意味着有16 ^ 3 = 4096种可能的组合。

我试图找到获得给定A值的百分位数的最有效方法（x0，y0和z0也将被给出）。我有两个问题：

有没有办法创建一个直接求解百分位数的分析公式，而不会产生所有可能的As并对它们进行排序？
如果没有，那么对这些数据进行排序的最有效方法是什么，因为我有一些关于如何构建数据的信息？

我认为＃1的答案是＆＃34;没有＆＃34;但如果有人能提出分析解决方案，我们会感到惊喜。继续＃2，这是我目前的进展：

将通过3个嵌套循环生成数据：

For x = 0 to 15
   For y = 0 to 15
       For z = 0 to 15
          array(n) = A(x,y,z)
          n=n+1
       Next z
   Next y
Next x

我们知道（至少）有关此数据的3件事：

array（0）＆lt;数组（1）＆lt;阵列（2）...
array（0）＆lt;阵列（16）＆lt; array（32）...
array（0）＆lt;数组（256）＆lt;阵列（512）...

到目前为止，我最好的工作算法是以列表大小16开头的mergesort。但是这忽略了上面的2）和3）。

注意：我的问题是关于效率。我有一个解决方案，虽然速度很慢，但很有效，所以我正在寻找的是最有效的方法。

将您的值放在三维数组（x，y，z）中。从（0,0,0）开始，必须是最小值。下一个值必须是（1,0,0），（0,1,0）或（0,0,1）。测试并添加。我们说这是（1,0,0）。然后下一个值必须是（2,0,0），（0,1,0）或（0,0,1）。继续，直到您在O（n）时间内添加了所有值。

FLAW：可能性的数量并不总是限制在3.我无法找到一种方法来告诉计算机哪些单元是可能的，而不会影响效率增益。可能有办法，但我还没有想到它。

编辑2：我仍然对从单调函数生成的值的最有效排序算法感兴趣，因为它在理论上是一个有趣的问题。然而，由于我首先询问是否有获得百分位数的捷径，我选择了非常简单的数字＆＃34;计算数字少于A＆＃34;作为答案。

Answer 1

如果你需要知道的是 A 在排序的可能性列表中的位置，实际上不需要对可能性进行排序（O（n log n））。只计算小于或等于 A （O（n））的可能性就足够了。

在这种情况下，函数是单调的，你可以进一步减少工作：给定一些明确的值 x＆＃39; 和 z＆＃39; ，你可以在A = f(x', y', z')中解决 y＆＃39; 。然后你知道最大（0， min （16，楼层（ y＆＃39; ）+ 1））三元组＆lt; x＆＃39; ， y ， z＆＃39; ＆gt;其值小于或等于 A 。

这个解决方案非常简单。给定

A=(y' + y0) * ((x'+x0) * (z'+z0))^.5

我们有

y' = A / ((x'+x0) * (z'+z0))^.5 - y0

Python（可以认为是伪代码）：

def gmean(x, y):
    return (x * y) ** 0.5

def count_le(A, x0, y0, z0):
    count = 0
    for x in range(16):
        for z in range(16):
            gm = gmean(x + x0, z + z0)
            if gm == 0:
                count += 16
            else:
                y = A / gm - y0
                if y >= 0:
                    count += min(16, 1 + int(y))
    return count

要将count_le的结果转换为百分位数，您必须将它乘以100/4096。

Answer 2

有趣的问题！

这是一个想法，可能是也可能不是最有效的。

Initialize a min-heap with A(0, 0, 0)
numItems = 0
While True:
    A(x, y, z) = pop minimum from heap
    numItems = numItems + 1
    If A(x, y, z) matches given A value:
        break
    else:
        Add to heap A(x + 1, y, z)
        Add to heap A(x, y + 1, z)
        Add to heap A(x, y, z + 1)

请注意，您需要维护一组标志，以确保不会向堆中添加重复项。这可以在O(1)时间内完成，例如将Flags[x][y][z] = True添加到堆中时A(x,y,z)。另外一个小注释，在添加到堆时执行一些边界检查。

弹出最小值需要O(logn)次。添加到堆需要O(logn)次。因此，最坏的情况时间复杂度仍为O(nlogn)。

优点是：

您可以在找到给定的A值后立即停止。即，您不需要计算所有可能的A值，并且您当然不需要对它们进行排序。
如果给定的A值很大，则可以使用max-heap。

生成数据的最有效排序算法

2 个答案: