Question

（原谅我的术语 - 自从我参加高级数学课以来已经很长时间了）

假设我有 n “plane”，每个“垂直”到 m 维度空间中的单个轴。没有两个平面垂直于同一轴。我相信我可以放心地假设所有 n 平面之间会有一些交叉。

我想将点 a 投影到交点上并获得结果的位置向量。

例如：

我有一个平面，其法线向量为（0.75,0,0），位置为（0.25,0,1），点 a 。我想得到投影到平面上的点 a 的位置矢量。

另一个例子：

我有两个由法向量（0.5,0,0）和（0,1,0）表示的平面。我在位置（0.1,0.1,0.1）处有一个 a 点。我想得到投影到我的两个平面（一条线）之间交叉点结果的点的位置矢量

Answer 1

m - 维空间中的“平面”是（m-1） - 维对象。它们通常被称为hyperplanes - plane 的概括，3维空间中的2维对象。要定义超平面，您不仅需要法向量而且需要一个点（想想二维空间中的线：所有平行线共享相同的方向，并且为了隔离一个您需要指定一个点）。

我怀疑你的意思是你的所有超平面都要穿过原点（在这种情况下确实在交点中有一个点 - 原点本身），我将你的“垂直于单个轴”解释为法线向量都指向某个坐标轴（换句话说，它们只有一个非零组件）。在这种情况下，你需要做的就是找到任意点（矢量，真的）到交点上的投影，将这些点的分量（再次，矢量，真的）设置为沿着超平面的法线向量归零。 / p>

让我来看看你的例子：

具有法向量（0.75,0,0）的三维空间中的（超）平面是 yz 平面：任意点的投影< em>（x，y，z）是（0，y，z） - 超平面沿第一个坐标有一个法向量，所以将该点的第一个分量设置为零（最后一次：矢量，真的）。特别是，（0.25,0,1）投射到（0,0,1）。
垂直于（0.5,0,0）和（0,1,0）的平面是 yz - 和 XZ - 平面。他们的交集是 z -axis。点（0.1,0.1,0.1）的投影是（0,0,0.1）。

Answer 2

可以通过求解具有lstsq的最小二乘意义上的超定系统来计算投影。系统矩阵的列由法向量形成，用作列（因此，在下面的第二行上进行转置）。

coeff是附加到这些法向量的系数;从给定点中减去法线向量的线性组合以获得投影

import numpy as np
normals = np.transpose(np.array([[0.5, 0, 0], [0, 1, 0]]))  # normals
point = np.array([0.1, 0.1, 0.1])  # point
coeff = np.linalg.lstsq(normals, point)[0]
proj = point - np.dot(normals, coeff)
print(proj)

输出：[0,0,0.1]。

将一个点投射到Python

2 个答案: