Matlab优化 - 约束中优化变量的条件和

Question

我正在尝试使用MATLAB（bintprog）中的二进制变量解决 ILP 问题。我需要定义一个类似于下面的约束：

我想对二进制变量x<sub>i, j</sub>求和，直到其中一个等于zero，然后停止此求和。如何在ILP中定义此约束？

Answer 1

在我看来，这是一个非常典型的MIP约束。这是我尝试制定这个：

你必须考虑：

• 处理案例B的必要性（取决于你的目标和其他限制因素）以及bigM方法的垮台nice read
• 如何实现两个二元变量的产品（这很容易;参见here）

修改

以二元辅助变量的双倍为代价，也可以在没有bigM常量的情况下制定它。

草图：

• 使用等于 == 两种含义 - ＆gt;而不是使用单侧含义来设置指标。没有aux-var是免费的;全部为0或1，仅取决于x（z）
• 现在构建第二层二进制辅助变量（b_i），其思路如下：b_i >= smallConst * b_i-1 + smallConst * a_i（smallConst in（0,0.5）;不应该接近0）
• 使用b-vector作为最终的总和约束（如上所述;但不再使用a-vector！）

Answer 2

我读这个的方式（有点困难，因为几乎没有解释;我认为这个问题可以更明确地表达），这基本上是计算第一个x(k)的1.这里我假设x(i,j)映射到x(k)，因此我们有一个更好的定义顺序。可以使用新的二进制变量y(k)来完成计数：

y(k) = x(k)*y(k-1)   if k>1
y(k) = x(k)          if k=1
y(k) in {0,1}

例如：

x = [1 1 1 0 1 0]
y = [1 1 1 0 0 0]

非线性表达式x(k)*y(k-1)可以很容易地线性化（它是两个二元变量的乘法;请参阅here;请注意，使用此公式我们甚至可以放松y(k)到0之间的连续1）。优化版本可能如下所示：

y(k) >= x(k)+y(k-1)-1   if k>1
y(k) = x(k)             if k=1
0 <= y(k) <= 1

现在你可以做到

sum(k, y(k)) <= c

这个表述也可以说：前导1的数量应该在c1和c2之间。

我们也可以立即写信：

x(1) + ... + x(c+1) <= c

也禁止超过c领先1，甚至更简单。

我们经常看到的一个不同的问题（例如在发电机调度中）是我们不能超过c连续x(k)开启的条件（即发电机不能启用超过c连续周期：c周期开启后，发电机必须关闭至少1个周期）。这意味着我们不允许超过c 1的序列。