在争用下预处理最短路径

Question

很容易证明，如果P是u和v之间的最短路径，那么每个子路径也是最短路径。 给定连接的Graph，我想预处理Matrix中每对节点之间的最短路径，这样：

1. 路径[u，v] =路径[v，u]
2. 如果路径[u，v]中的x，y则路径[x，y]是路径[u，v]的子路径。

我无法弄清楚算法或证明，实际上我不知道这是否可行。 任何想法都是受欢迎的。谢谢。

Answer 1

如果您正在使用无向图，或者如果保证弧的重量（a，b）等于所有弧的弧的重量（b，a），则只能得到（1）你的图表。

您描述的问题听起来像是全对最短路径问题：对于连接图中的每对节点，找到该对中节点之间的最短路径。 Floyd-Warshall算法可用于查找路径的长度，并且可以直接从那里重建最短路径。

该算法进一步要求不存在负循环（否则可以通过再次运行该循环总是获得更短的路径）但该要求似乎是合理的。

为了保证属性（2），您需要确保在重建路径时重建“规范”路径，只要有多条最短路径可能。为此，在顶点上施加排序并始终按升序测试候选节点，始终优先选择保持最短路径属性的最低排序节点。

维基百科的写作相当不错。