我以标准格式给出了一个线性程序P。
我需要证明，如果P的原始松弛形式和双重问题的原始松弛形式都是可行的，那么P的最优解是0。
我可以与Weak Duality theorem合作，但无法一起完成数学计算。
任何帮助都会被暗示。
答案 0 :(得分：1)
根据对偶定理，如果原始问题允许最优解（x * 1，... x * n），则双重问题允许最优解（y * 1，... .y * m），使得所有可行原始形式的程序的解是从双重程序的上面限定的，并且我们可以说相反的情况也是如此，双重的可行解由下面的原始的解决，这意味着如果两个有相同的解决方案，那么它是线性程序的最佳解决方案。
简单地说，最优解决方案是通过原始程序的可行解决方案以及从上面通过双程序的可行解决方案来约束的。
在这种情况下，给出程序的原始和双基本松弛形式都是可行的，这意味着松弛形式的基本解决方案是可行的解决方案。基本松弛形式的可行解是0（记住我们在求解基本解时将所有非基本变量设置为零）。因此我们知道对于双重和原始程序0都是可行的解决方案，因此从二元性我们知道0是线性程序的最优解。
我们可以通过否定来证明这一点。取一些非零数k和一些非零数j，使得k是线性程序原始形式的可行解，j是线性程序的双重形式的可行解。当j = k时，线性程序的最优解出现。让我们证明，对于0以外的任何数字都不会发生这种情况。
对于原始程序的任何可行解k，我们知道它是由双程序的所有可行解决方案从上面约束的。由于我们知道一个这样的解决方案是0，因为双程序的基本松弛形式是可行的，那么我们知道k必须是非正数。 对于双程序的任何可行解j，我们知道它是由原始程序的所有可行解决方案从下面约束的。由于我们知道一个这样的解是0，因为原始程序的基本松弛形式是可行的，那么我们知道j必须是非负数。
已经证明双重j的任何可行解是非负的，并且原始k的任何可行解都是非正的，我们看到非零数的j = k是矛盾的。 唯一可以获得j = k的数字是0，因此是最优解。