如何在Python中快速获得可行的线性程序解决方案？

Question

目标：计算两个凸多面体的交点。

我正在使用scipy.spatial.HalfspaceIntersection来执行此操作。下图显示了相交的结果：

我的问题：确定初始可行点。

您会看到，scipy.spatial.HalfspaceIntersection的当前Python实现要求将interior_point作为参数传递。

  

interior_point : ndarray of floats, shape (ndim,)
  清楚地指向由半空间定义的区域内。也称为可行点，可以通过线性编程获得。

现在，由于我只是在起草用于HalfspaceIntersection试验的原型，因此我现在手动提供可行的观点。 但是现在我已经不想手动指定了。

SciPy的优化模块scipy.optimize.linprog实现了两个通用的线性编程（LP）求解器： simplex 和 interior-point 。但是，它们似乎需要成本函数。 [1]

由于我想花费尽可能少的处理时间来计算此可行点，因此我想知道如何在没有成本函数的情况下运行这些LP方法，即，仅运行至解决方案已达到可行状态。

问题：

1. scipy.optimize.linprog是计算此可行内点的正确方法吗？

2. 如果是，如何使用 simplex 或 interior-point 而没有成本函数？

   < / li>

3. 为什么scipy.spatial.HalfspaceIntersection 需要首先将interior point作为参数传递？据我所知，半空间的交集是消除给定不等式集合的冗余不等式。为什么为此需要一个可行的观点？

Answer 1

您可以指定恒定成本函数，例如0。

这里是一个例子：

%pylab
from scipy.optimize import linprog
A = array([[1] + 9 * [0], 9 * [0] + [1]])
b = array([1, 1])

测量此方法的性能表明它非常有效：

%time
res = linprog(c=zeros(A.shape[1]), A_eq=A, b_eq=b)

输出：

CPU times: user 5 µs, sys: 1 µs, total: 6 µs
Wall time: 11 µs

此外，根据res.nit，我们仅经过2次迭代就完成了。

结果res.x是正确的：

array([ 1.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  1.])

请注意，单纯形算法旨在查找由线性约束定义的多面体的顶点。据我了解，基于内部点的方法没有这种偏爱，尽管我对scipy的linprog背后的实现并不熟悉。因此，由于您的要求是该点位于“明显位于由半空间定义的区域之内” ，因此我建议采用以下任一方法：

• 或者将method='interior-point'传递给linprog。
• 或者计算不同的顶点并利用多面体是凸的：
  1. 向常量目标函数添加一些噪声（例如，通过np.random.randn）
  2. 通过改变噪声种子（np.random.seed）解决噪声增强LP的多个实例。
  3. 最后，将解决方案的均值用作最终内点“明显在区域内” 。

由于不清楚，您的内部点的余量需要多大，我希望第二种方法（噪声增强的LP）更可靠。