傅立叶空间滤波

Question

我有一个长度为T的实矢量时间序列x和一个长度为t <＆lt;＆lt; T. h是傅立叶空间中的滤波器，真实且对称。大概是1 / f。

我想用h过滤x得到y。

假设t == T且长度为T的FFT可以适合存储器（两者都不是真的）。要在python中获取我的过滤后的x，我会这样做：

import numpy as np
from scipy.signal import fft, ifft

y = np.real( np.ifft( np.fft(x) * h ) ) )

由于条件不成立，我尝试了下面的黑客攻击：

1. 选择填充尺寸P < t / 2，选择块大小B使得B + 2P是一个好的FFT大小
2. 通过样条插值将h缩放为大小为B + 2P＆gt; t（h_scaled）
3. y = [];环：
   • 从x（称为x_b）
   获取长度为B + 2P的块
   • 执行y_b = ifft（fft（x_b）* h_scaled）
   • 从y_b的任一侧删除填充P并与y
   连接
   • 通过P
   选择下一个与最后重叠的x_b

这是一个好策略吗？如何以良好的方式选择填充P？这样做的正确方法是什么？我不太了解信号处理。这是一个学习的好机会。

我正在使用cuFFT来加快速度，因此如果大部分操作都是FFT，那就太棒了。实际问题是3D。另外，我并不关心非因果过滤器中的伪影。

谢谢， 保罗。

Answer 1

你走在正确的轨道上。该技术称为overlap-save processing。 t是否足够短，以至于该长度的FFT适合内存？如果是这样，您可以选择B块大小B > 2*min(length(x),length(h))，以便进行快速转换。然后当你处理时，你放弃y_b的前半部分，而不是从两端掉落。

要了解为什么要放弃上半部分，请记住频谱乘法与时域中的循环卷积相同。与零填充h进行对比会在结果的前半部分产生奇怪的毛刺瞬变，但到了后半部分所有瞬态都消失了，因为x中的圆形包络点与零部分对齐h。用"Theory and Application of Digital Signal Processing" by Lawrence Rabiner and Bernard Gold中的图片对此进行了很好的解释。

重要的是，您的时域过滤器至少在一端逐渐变为0，这样您就不会出现响铃现象。您提到h在频域中是真实的，这意味着它具有全0阶段。通常，这种信号仅以循环方式连续，并且当用作滤波器时将在整个频带中产生失真。创建合理滤波器的一种简单方法是在频域中使用0相位，逆变换和旋转进行设计。例如：

def OneOverF(N):
    import numpy as np
    N2 = N/2; #N has to be even!
    x = np.hstack((1, np.arange(1, N2+1), np.arange(N2-1, 0, -1)))
    hf = 1/(2*np.pi*x/N2)
    ht = np.real(np.fft.ifft(hf)) # discard tiny imag part from numerical error
    htrot = np.roll(ht, N2)
    htwin = htrot * np.hamming(N)
    return ht, htrot, htwin

（我对Python很陌生，请告诉我是否有更好的方法来编写代码）。

如果您比较ht，htrot和htwin的频率响应，您会看到以下内容（x轴的归一化频率最高为pi）：

ht，在顶部，有很多波纹。这是由于边缘的不连续性。 htrot，在中间，更好，但仍然有波纹。 htwin很好而且很平滑，代价是以稍高的频率展平。请注意，您可以使用较大的N值来扩展直线段的长度。

我写过关于不连续性的问题，如果你想看到更多的细节，还在another SO question写了一个Matlab / Octave例子。