蚂蚁可以走向或远离有多边形障碍的点吗？

Question

给定一个多边形S和一个位于S外的点p，想象一只只能沿着直线走向或远离p的蚂蚁。

对于某些形状（图1），可以选择p使得蚂蚁可以在两种可能性中的至少一种中无阻碍地移动：朝向（T）p，或远离它（A）。这个条件对应于从p的周长恰好相交0或2次的p投射的任何光线。

然而，对于相同的形状（图2），也可能存在导致阻挡（B）区域的点，其中蚂蚁将在其尝试移动的任何方向上碰撞多边形。对于其他形状（图2） 3）可能没有选择p导致没有阻塞区域。具有阻挡区域对应于从与S的周边相交的p投射的一些光线超过2次。

是否有算法确定某个p是否存在满足某个给定多边形S的条件？如果存在这样的点，它还可以确定包含它们的区域吗？

Answer 1

找到多边形障碍物的所有凹角。对于每个角落，无限延伸其两个边缘。这两条光线之间的扇区，以及（如Nico Schertler所指出的）该扇区的点反射区域，定义了该点必须在哪里，以便障碍物不会隐藏角点形成点的光线。

在具有L形障碍物的示例中，存在一个凹角。其相邻边缘（右上角）与其点反射（左下角）之间的扇区形成一个区域（以红色表示），其中该点必须为。

在具有U形障碍物的示例中，存在两个凹角，并且两个对应区域（红色和蓝色）具有重叠（紫色）。这一点必须在这个紫色区域。

在具有S形障碍物的示例中，存在两个重叠区域（紫色）。要点必须在这两个区域之一。

在具有H形障碍物的示例中，红色和蓝色区域在H的水平光束上方具有重叠（紫色），蓝色和绿色区域在水平光束的右侧具有重叠（蓝绿色）绿色和黄色区域在水平光束下方具有重叠（石灰），黄色和红色区域在光束的左侧具有重叠（橙色）;但是，这四个区域之间没有整体重叠，也没有可以满足约束条件的地方。