求解R中的整数：被积函数是ODE解的一个函数

Question

我想计算积分，其中被积函数是ODE解的函数。

为了求解积分，R需要求解积分算法使用的每个值的ODE。这是我到目前为止所做的：

require(deSolve)

# Function to be passed to zvode in order to solve the ODE  
ODESR <- function(t, state, parameters) {
   with(as.list(c(state, parameters)),{
       dPSI <- -kappa*PSI+0.5*sigma^2*PSI^2
       dPHI <- kappa*theta*PSI
       return(list(c(dPSI, dPHI)))
   })
}

# For a given value of p this code should return the solution of the integral
pdfSRP <- function (p) {
   integrand <- function (u) {
       state <- c(PSI = u*1i, PHI = 0)
       out <- as.complex(zvode(y = state, times = times, parms = parameters, fun = ODESR)[2, 2:3])
       Re(exp(out[2] + out[1]*x)*exp(-u*1i*p))
   }
integrate(f = integrand, lower = -Inf, upper = Inf)$value/(2*pi)
}

对于以下给定值：

parameters <- c(kappa = 1, theta = 0.035, sigma = 0.05)
times <- c(0,1)
x <- 0.1

运行：

pdfSRP(p = 2)

产生以下错误：

Error in eval(expr, envir, enclos) : object 'PSI' not found

我无法弄明白为什么。我很确定这是由于语法错误，因为运行：

integrand <- function (u) {
       state <- c(PSI = u*1i, PHI = 0)
       out <- as.complex(zvode(y = state, times = times, parms = parameters, fun = ODESR)[2, 2:3])
       Re(exp(out[2] + out[1]*x)*exp(-u*1i*p))
}

p <- 2和（例如）u <- 3有效。

你能帮我发现错误吗？

Answer 1

这似乎是integrand输入u中的矢量化问题。如果我理解正确，PSI应该是每个计算的数字而不是数字向量（这会在PSI和PHI之间产生尺寸问题。因此

integrand <- Vectorize(integrand)

应解决您的问题。来自?integrate：

  

f必须接受输入向量并在这些点产生函数评估向量。

但是，这会导致不同的错误。

pdfSRP(p = 2)
## Error in integrate(f = integrand, lower = -Inf, upper = Inf) : 
## the integral is probably divergent 

如果我们绘制被积函数，我们可能会发现分歧问题

p <- 2
par(mfrow = c(1,2))
curve(integrand,-1e3,1e3,n = 100)
curve(integrand,-1e3,1e3,n = 1e3)

假设被积分在两个尾部中足够快地收敛到零，则积分的发散可能是数值不精确的结果。我们可以通过增加积分的子区间数来提高精度，这确实给出了结果 - 我想，正如通过启发式查看图表所预期的那样。

pdfSRP <- function (p) {
    int <- integrate(f = integrand, lower = -Inf, upper = Inf,
                    subdivisions = 1e3)
    int$value/(2*pi)
}
## [1] 2.482281e-06