该计划的时间复杂性？

Question

1 i ← 1
2  while i < n/4
3   do
4    j ← 2i
5     while j < n
6       do
7         j ← j + 1
8     i ← i + 1


b) 1 i ← n
   2 while i > 1
   3   do
   4    j ← i
   5    while j < n
   6      do
   7        j ← 2j
   8    i ← i − 1


 c) 1 i ← 1
    2 while i < n
    3   do
    4     j ← 0
    5     while j ≤ i
    6       do
    7         j ← j + 1
    8     i ← 2i

鉴于这三个程序，找到每个程序的时间复杂度最简单的方法是什么？我可以说第一个可能是O（n ^ 2）。但是，有一种简单的方法来解决这个问题吗？我明天有考试。

Answer 1

（我会在总和限制中忽略1，舍入等）

A）

在内循环中，您执行n - 2i - 1次操作。在外循环中，您执行n/4 - 1。所以复杂性是：

所以你对第一个的回答是正确的。

B）

在内部循环中，j每次都会加倍，因此会呈指数增长;因此内循环采用对数时间 - log (n / i)。 （基数2但忽略WLOG）。内部i的划分是因为j从i开始，因此相当于从1开始并逐渐增长到n / i。在外部循环中，您执行n - 1操作。

（最后一步来自 Stirling的近似值）

C）

在内循环中，您执行i + 1操作。在外圈i从1增加到n，所以log n。

N.B。我注意到TypeKazt的答案存在显着差异;这说明你不能简单地将内循环的复杂性与外循环的“复杂性”相乘，并且内循环的边界条件在确定上是重要的。

编辑：作为我对TypeKazt（hehe sorry buddy）的大胆指责的补充证明，这是我从C＃实现获得的一些测试数据：

如您所见，A（线性标度）的复杂度为O(n^2)，而B和C（对数标度）的复杂度为线性。

代码：

static int A(int n)
{
   int c = 0;
   for (int i = 0; i < n / 4; i++)
      for (int j = 2 * i; j < n; j++)
         c++;
   return c;
}

static int B(int n)
{
   int c = 0;
   for (int i = n; i > 1; i--)
      for (int j = i; j < n; j *= 2)
         c++;
   return c;
}

static int C(int n)
{
   int c = 0;
   for (int i = 1; i < n; i *= 2)
      for (int j = 0; j <= i; j++)
         c++;
   return c;
}

P.S。我知道SO的政策不是为了照顾别人，而是为了一个人通过实例学习，所以我希望这能帮助你理解复杂性分析的简单分析方法。