Question

我正在尝试使用OpenGL可视化Mandelbrot设置，并且在光滑着色时发现了非常奇怪的行为。

我们假设，对于当前的复数值C，当n被证明超过2时，算法在Z次迭代后已经转义。

我按照这样编程着色部分：

if(n==maxIterations){
   color=0.0; //0.0 is black in OpenGL when put to each channel of RGB 
              //Points in M-brot set are colored black.
} else {
   color = (n + 1 - log(log(abs(Z)))/log(2.0) )/maxIterations; 
   //continuous coloring algorithm, color is between 0.0 and 1.0
   //Points outside M-brot set are colored depending of their absolute value,
   //from brightest near the edge of set to darkest far away from set.
}
glColor3f(color ,color ,color );
//OpenGL-command for making RGB-color from three channel values.

问题是，这只是效果不好。一些平滑是显而易见的，但它并不完美。

但是当我添加两个额外的迭代时（只是发现这个没有解释的地方）

Z=Z*Z+C; 
n++;

在“else”分支中，在计算颜色之前，图片出来绝对，优雅流畅。

为什么会这样？为什么在检查要设置的点之后，我们是否需要在着色部分中进行额外的迭代？

Answer 1

我实际上并不确定，但我猜测它与数字（log(log(n))）的日志日志有点相关的事实有关对于“小”数字n不稳定的事情，其中“小”在这种情况下意味着接近2.如果你的Z刚刚逃脱，它接近2.如果你继续迭代，你得到（快速）从2开始越来越远，log(log(abs(Z)))稳定，从而为您提供更可预测的价值......然后，它会为您提供更平滑的价值。

示例数据，任意选择：

 n            Z.real            Z.imag         |Z|  status color
-- ----------------- ----------------- ----------- ------- -----
 0             -0.74              -0.2    0.766551 bounded [nonsensical]
 1           -0.2324             0.096    0.251447 bounded [nonsensical]
 2       -0.69520624        -0.2446208    0.736988 bounded [nonsensical]
 3    -0.31652761966     0.14012381319    0.346157 bounded [nonsensical]
 4    -0.65944494902    -0.28870611409    0.719874 bounded [nonsensical]
 5    -0.38848357953     0.18077157738    0.428483 bounded [nonsensical]
 6    -0.62175887162    -0.34045357891    0.708867 bounded [nonsensical]
 7    -0.46932454495     0.22336006613    0.519765 bounded [nonsensical]
 8    -0.56962419064    -0.40965672279    0.701634 bounded [nonsensical]
 9    -0.58334691196     0.26670075833    0.641423 bounded [nonsensical]
10     -0.4708356748    -0.51115812757     0.69496 bounded [nonsensical]
11    -0.77959639873     0.28134296385    0.828809 bounded [nonsensical]
12     -0.2113833184    -0.63866792284     0.67274 bounded [nonsensical]
13     -1.1032138084    0.070007489775     1.10543 bounded 0.173185134517425
14     0.47217965836    -0.35446645882    0.590424 bounded [nonsensical]
15    -0.64269284066    -0.53474370285    0.836065 bounded [nonsensical]
16     -0.6128967403     0.48735189882    0.783042 bounded [nonsensical]
17    -0.60186945901    -0.79739278033    0.999041 bounded [nonsensical]
18     -1.0135884004     0.75985272263     1.26678 bounded 0.210802091344997
19    -0.29001471459     -1.7403558114     1.76435 bounded 0.208165835763602
20     -3.6847298156     0.80945758785     3.77259 ESCAPED 0.205910029166315
21      12.182012228     -6.1652650168     13.6533 ESCAPED 0.206137522227716
22      109.65092918     -150.41066764     186.136 ESCAPED 0.20614160700086
23     -10600.782669     -32985.538932     34647.1 ESCAPED 0.20614159039676
24     -975669186.18       699345058.7 1.20042e+09 ESCAPED 0.206141590396481
25  4.6284684972e+17 -1.3646588486e+18 1.44101e+18 ESCAPED 0.206141590396481
26 -1.6480665667e+36  -1.263256098e+36 2.07652e+36 ESCAPED 0.206141590396481

注意颜色值在[20,22]中的n处仍然波动多少，在n = 23时变得稳定，并且从n = 24开始一致。请注意，Z值在半径为2的圆圈外面有一个边界，它限制了Mandelbrot集。

我实际上没有做足够的数学运算来确定这实际上是一个可靠的解释，但那是我的猜测。

Answer 2

由于我刚刚制作了相同的程序，而且作为优秀的数学家，我会解释原因，希望这一点很清楚。

如果说在k次迭代后，带有种子C的序列已经转义。

由于函数it self被定义为Limit，因为迭代变为无穷大，所以得到接近k的东西并不是那么好。这就是原因。

正如我们所知，在2之后，序列变为无穷大，让我们考虑一些迭代T，其中z变得足够大。考虑到它C将是非常小的，因为通常你看2轴的[-2,2]和[-1.5,1.5]中的集合。所以在T + 1迭代中，z将是~~ z ^ 2，并且在这种情况下很容易检查| z | T + 1将是~~ | z | ^ 2的前一个。

对于第K次迭代，我们的函数是log（| z |）/ 2 ^ k。在我们看的情况下很容易看出，在T + 1迭代中它将是~~ http://www.equationsheet.com/latexrender/pictures/e8ab9446e81684037708209bf8f3a297.gif 这是T迭代的功能。

换句话说是| z |变得比种子C“显着”大，功能变得越来越稳定。你不想使用接近逃避迭代k的迭代，因为实际上Z将接近2，并且因为它依赖于C，它可能与它相比并不是非常小，因此你不会接近极限。 / p>

As | C |实际上在第一次逃避迭代时接近2，你将远离极限。另一方面，如果您选择在| Z |> 100之后进行转义绑定，或者只需要多次迭代，您将获得更加稳定。

希望对这个问题感兴趣的人能够很好地回答他。

Answer 3

现在似乎“额外的迭代”想法没有令人信服的公式，如果不计算它只是有用的事实。

在维基百科的一篇旧版本的Mandelbrot文章中，有关于连续着色的文章：

其次，建议少数进行额外的迭代以便z 可以成长如果你停止迭代为一旦z逃脱，就有了平滑的可能性算法不起作用。

总比没有好。

分形的连续着色

3 个答案: