Question

下面我有一个使用索引表示法编写的等式。该等式可以用图中的六个等式表示。

使用索引表示法（爱因斯坦符号：https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_notation）扩展第一个等式。在U_k中，k逗号是导数的约定。由于我们有重复索引（k，k），我们应用求和约定并得到（du_1 / dx_1 + du_2 / dx_2 + du_3 / dx_3）。在图中，术语u_1，u_2和u_3被写为u，v和w，它们由x_1，x_2和x_3（x，y和z）区分。

我是python和Sympy的新手，我看到有一个张量模块，但我看不出Sympy中是否已经实现了可以编写第一个等式（带索引）的内容，并从中获得了其他六个关系。

Answer 1

目前，没有直接的方式来做你要求的事情。

我将通过使用 IndexedBase （即其他符号索引的符号）建议一个应该有效的技巧，然后替换。

声明你的符号：

U = IndexedBase("U")
l = symbols("lambda")
var("mu u v w x y z i j k")

声明你的表达式（没有爱因斯坦求和，所以明确地放一个 Sum ）：

sij = l*Sum(U[k, k], (k, 0, 2)) * KroneckerDelta(i, j) + mu*(U[i, j] + U[j, i])

定义替换函数：将 U [0,0] 与 Derivative（u，x）匹配，依此类推：

def replace_U(uij):
    i1, i2 = uij.indices
    return Derivative([u, v, w][i1], [x, y, z][i2])

现在，首先使用整数值替换所有 i ， j 索引替换 U [i，j] ，然后替换< em> U [0,0] ，...

for ii in range(3):
    for ji in range(3):
        if ii < ji:
            continue
        pprint(sij.doit().xreplace({i: ii, j: ji}).replace(lambda v: v.base == U, replace_U))

记住： Sum.doit（）扩展总和。条件 ii＆gt; = ji 用于避免两次打印相同的表达式（您的等式在 i，j 中是对称的。）

请注意，上面代码中的 U [i，j] 只是一个符号， i 和 j 除了as之外没有特殊含义 U 的索引。替换函数为它们分配衍生物。

我得到的输出是：

  ⎛d       d       d    ⎞       d    
λ⋅⎜──(u) + ──(v) + ──(w)⎟ + 2⋅μ⋅──(u)
  ⎝dx      dy      dz   ⎠       dx   
  ⎛d       d    ⎞
μ⋅⎜──(u) + ──(v)⎟
  ⎝dy      dx   ⎠
  ⎛d       d       d    ⎞       d    
λ⋅⎜──(u) + ──(v) + ──(w)⎟ + 2⋅μ⋅──(v)
  ⎝dx      dy      dz   ⎠       dy   
  ⎛d       d    ⎞
μ⋅⎜──(u) + ──(w)⎟
  ⎝dz      dx   ⎠
  ⎛d       d    ⎞
μ⋅⎜──(v) + ──(w)⎟
  ⎝dz      dy   ⎠
  ⎛d       d       d    ⎞       d    
λ⋅⎜──(u) + ──(v) + ──(w)⎟ + 2⋅μ⋅──(w)
  ⎝dx      dy      dz   ⎠       dz

我是python和Sympy的新手，我看到有一个张量模块但我无法看到Sympy中是否已经实现了某些功能在那里我可以写出第一个方程（带索引）并从中获得其他六个关系。

有 sympy.tensor.tensor ，它支持抽象索引表示法（一种受限制的爱因斯坦求和）。不幸的是，它不支持衍生品。

如果您想处理组件，最近又添加了sympy.tensor.array。它提供多维数组，张量积和收缩，以及数组导数。

Answer 2

如Francesco Bonazzi所述，还有另一种使用sympy.tensor.array来实现方程式的方法。该方法具有易于实现派生的优点。

示例代码如下：

from sympy import *
lam, mu, x, y, z = symbols("lambda mu x y z")
u, v, w = symbols("u v w", cls=Function)
du = derive_by_array([u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)], [x, y, z])
sig = lam * tensorcontraction(du, (0, 1)) * eye(3) + mu * (du + transpose(du))
for i in range(3):
    for j in range(i, 3):
        Eq(Symbol("sigma_{}{}".format(i+1, j+1)), sig[i, j])

输出：

        ⎛∂                ∂                ∂             ⎞       ∂            
σ₁₁ = λ⋅⎜──(u(x, y, z)) + ──(v(x, y, z)) + ──(w(x, y, z))⎟ + 2⋅μ⋅──(u(x, y, z))
        ⎝∂x               ∂y               ∂z            ⎠       ∂x           
        ⎛∂                ∂             ⎞
σ₁₂ = μ⋅⎜──(u(x, y, z)) + ──(v(x, y, z))⎟
        ⎝∂y               ∂x            ⎠
        ⎛∂                ∂             ⎞
σ₁₃ = μ⋅⎜──(u(x, y, z)) + ──(w(x, y, z))⎟
        ⎝∂z               ∂x            ⎠
        ⎛∂                ∂                ∂             ⎞       ∂            
σ₂₂ = λ⋅⎜──(u(x, y, z)) + ──(v(x, y, z)) + ──(w(x, y, z))⎟ + 2⋅μ⋅──(v(x, y, z))
        ⎝∂x               ∂y               ∂z            ⎠       ∂y           
        ⎛∂                ∂             ⎞
σ₂₃ = μ⋅⎜──(v(x, y, z)) + ──(w(x, y, z))⎟
        ⎝∂z               ∂y            ⎠
        ⎛∂                ∂                ∂             ⎞       ∂            
σ₃₃ = λ⋅⎜──(u(x, y, z)) + ──(v(x, y, z)) + ──(w(x, y, z))⎟ + 2⋅μ⋅──(w(x, y, z))
        ⎝∂x               ∂y               ∂z            ⎠       ∂z

Answer 3

这是我对这个问题的回答。代码显示/打印结果，并且不会因为按索引符号计算而给出错误。

欢迎评论进一步 (i) 适用于科学出版物的优化和打印结果。目前看起来很尴尬。

from sympy import Symbol, Derivative
from sympy import * 
lam, mu, x, y, z = symbols("lambda mu x y z")
u, v, w = symbols("u v w", cls=Function)
du = derive_by_array([u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)], [x, y, z])
sig = lam * tensorcontraction(du, (0, 1))*Array(eye(3))  + mu * (du + transpose(du))
alist = []
for i in range(3):
    for j in range(i, 3):
        alist.append(Eq(Symbol("sigma_{}{}".format(i+1, j+1)), sig[i, j]))
        init_printing()

使用sympy展开索引表示法

3 个答案: