确定不可预测的非线性迭代算法的时间复杂度

Question

我不知道我是否正确使用了不可预测的字。但问题出在这里：

我有一张长度为a和宽度为b的长方形纸。我将继续从它切割正方形，其边等于min（a，b），直到最后一个正方形为单位长度。确定我可以切割的方格数。

这是我的算法：

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    long long a,b,temp,small,large,res;
    cin >> a >> b;
    res = 0;

    small = min(a,b);
    large = a + b - small;

    while(small > 0 && small != large)
    {
        res = res + large/small;
        temp = large % small;
        large = small;
        small = temp;
    }

    cout << res;
    return 0;
}

我很困惑如何在这种情况下计算时间复杂度，因为max（a，b）以非偶数方式减小到1，这取决于a和b的初始值。最好的情况肯定是何时，其中一个或两个已经是1。我猜，最糟糕的情况是两者都是素数。请帮我分析时间复杂度。

Answer 1

该算法与用于计算最大公约数的欧几里德算法非常相似。回想一下，该算法的工作原理是：

• 从两个数字a, b开始，假设不会丢失a >= b。如果a == b则停止。
• 在下一轮中，这两个数字代替b和a % b。

现在考虑你的算法。它是相同的，除了它是a - b。但如果a < 2 * b，这实际上会做同样的事情。如果是a < k * b，那么在下一轮中它只会改变b的倍数，因此在最多k轮后，它将收敛到a % b。所以这只是欧几里得算法的一个较慢的版本。

欧几里德算法的时间复杂度非常快 - 因为它是重复除法，所以轮数不超过数字位数。

编辑：要扩展到最后一部分： 为了分析时间复杂度，第一个问题是，它需要多少轮。

一种简单的方法是，如果a和b的（二进制）描述中包含n和m位数，则不能超过n + m轮。b轮。因为，只要b在给定回合中至少有两个，我们将在该回合中将其中一个数字除以2，因此结果将减少一个数字。如果{{1}}是1，那么这是最后一轮。

第二个问题是，进行一轮比赛需要多长时间。

如果您对“运行时间最多是多数位数”感到满意，那么现在就可以清楚了，因为您可以轻松地在多项式中进行数字除法。

我实际上并不确定最严格的分析是什么。你或许可以做一些双赢的分析以改善这一点，我几乎可以肯定这已被研究过但我不知道参考，对不起。